Основные уравнения. Граничные условия.

3.1.1. С учётом данного выше определения система уравнений Максвелла, которая описывает электрическое поле постоянного тока, будет иметь вид:

(3.1)

Применим операцию «взятия дивергенции» к правой и левой частям первого уравнения

Но всегда . Т.е. Первое уравнение Максвелла для описания электрического поля постоянного тока будет иметь вид:

(3.2)

Полученное выражение свидетельствует о том, что векторные линии плотности постоянного тока всегда замкнуты (говорят о том, что поле соленоидальное).

Замечания:

1. Постоянный ток может протекать только в замкнутых цепях.

2. В линейных изотропных средах уравнение связи напряжённости электрического поля и плотности тока выглядит следующим образом: , где - удельная проводимость среды, .

Второе уравнение Максвелла (3.1) свидетельствует о том, что поле в рассматриваемом случае – без вихревое, т.е. потенциальное. Это позволяет описать электрическое поле постоянного тока с помощью потенциальной величины – потенциала электрического поля: . Полная аналогия с электростатикой.

С потенциальными величинами значительно легче «работать», поэтому перепишем уравнение (3.2) относительно потенциала электрического поля: . В случае однородной проводящей среды распределение потенциала описывается с помощью уравнения Лапласа: .

Все, что мы говорили о потенциале в электростатике, справедливо и в случае поля постоянного тока.

3.1.2. Интегральная форма уравнений.

Уравнения, описывающие процессы протекания постоянного тока в проводящих средах можно записать в интегральном виде:

- интегральная форма условия потенциальности электрического поля, в теории электрических цепей данное выражение называют законом напряжений Кирхгофа.

ток через любую замкнутую поверхность равен нулю, в теории электрических цепей данное выражение называют законом тока Кирхгофа.

3.1.3. Условия на границе двух сред.

Пусть нам дана граница двух проводящих сред с разными проводимостями и (рис.3.1). Необходимо определить, как изменятся направление и значение вектора плотности тока при прохождении его через эту границу со стороны первого материала.

Рис.3.1.

Для решения этой задачи разложим вектор плотности тока на две составляющие. Первая – перпендикулярная поверхности раздела (нормальная составляющая, обозначаемая индексом n). Вторая – направленная по касательной к этой поверхности (касательная составляющая, обозначаемая индексом ). Тогда вектор плотности тока можно записать: и исследовать изменение нормальной и касательной составляющих вектора в отдельности.

Введём понятие угла наклона () вектора плотности тока относительно поверхности раздела, т.о., чтобы .

Для нормальной составляющей, исходя из уравнения (3.2), которое утверждает, что заряд не может скапливаться в проводящих средах при протекании через них постоянного тока, можем записать: . Касательные составляющие электрического поля описываются вторым уравнение Максвелла (3.1). Из этого уравнения, в частности, следует, что касательные составляющие напряжённости электрического поля на границе двух сред всегда равны друг другу: или .

Запишем отношение тангенсов углов падения и преломления:

Данное выражение называют законом преломления векторных линий плотности электрического тока.

Замечания:

1.Аналогичным образом можно получить закон преломления векторных линий напряжённости электрического поля.

2. В частном случае, когда линии тока в плохо проводящей среде перпендикулярны поверхности (), а сама эта поверхность – эквипотенциальна.

Кстати:

На рис.3.1. в 2.3 раза больше, чем .

§-2 Математические аналогии электростатического поля и электрического поля постоянного тока. Электромоделирование.

Уравнения электростатического поля	Уравнения для электрического поля постоянного тока

Замечания:

1. Сравнение граф этой таблицы свидетельствует о том, что уравнения электростатики и электрического поля совпадают с точностью до обозначений. Т.е. если в уравнениях для электростатики диэлектрическую проницаемость заменить на проводимость среды, а электрическое смещение на плотность тока – получим уравнения, описывающие электрическое поле в проводящих средах.

2. Поскольку дифференциальные уравнения, которые описывают поле в электростатике и на постоянном токе одинаковы, то и решения будут идентичны. Т.е. любое решение, которое мы получили в электростатике и любой метод, который мы там использовали, можно применять и для постоянного тока.

3. Математическая аналогия электростатики и постоянного тока лежит в основе электромоделиролвания. Экспериментально определить распределения потенциала электростатического поля – сложнейшая задача. Для её реализации необходимы приборы, сопротивление которых будет значительно больше сопротивления измеряемых сред. В случае идеального проводника сопротивление стремится к бесконечности, а сопротивление измерительного прибора должно быть ещё больше. Этим объясняется широкое применение метода электромоделиролвания. В рамках этого метода исследование электростатических полей заменяют исследованием поля растекания тока (в среде с относительно не высоким сопротивлением) на физической модели.

Дата добавления: 2015-11-16