Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Отделение корней нелинейного уравнения.



Читайте также:
  1. I курс заочное отделение
  2. I. Отделение сознания от Эго; сознание и мышление; принцип логики
  3. Автомобильное отделение
  4. Дифференциальные уравнения. Ряды. Ряды Фурье.
  5. Дневное отделение
  6. Лечебное отделение детского стационара
  7. Местное отделение ДОСААФ России Борисоглебского городского округа.

О1. Корень отделен на отрезке , если и других корней в этом отрезке нет. При этом называется отрезком изоляции корня .

Отделить корни уравнения - значит для каждого из корней найти свои отрезки изоляции.

О2. Поиск приближенного значения корня с точностью до заданного достаточно малого числа называется уточнением этого корня.

Следовательно, задача уточнения будет решена, если найдется число такое, что . Тогда с точностью до .

Если отрезок изоляции корня найден, то любое число из него можно взять в качестве приближенного корня. Например, . Пусть – длина отрезка. Поскольку , концы отрезка являются приближениями к с точностью до . Легко проверить, что имеет точность до , т.е. обладает лучшей характеристикой точности.

Чем меньше длина отрезка изоляции, тем выше точность приближения, однако с помощью используемых для отделения корней приемов получить отрезок достаточно малой длины трудно. Нужны специальные методы уточнения корней. Далее будет рассмотрено несколько таких методов, которые реализуют следующие два способа поиска приближенного корня с заданной точностью :

1. Последовательно уменьшая длины отрезка изоляции корня по какому-либо правилу, отыскивается отрезок такой, что и . Тогда приближенным корнем требуемой точности будет середина отрезка .

2. Строится последовательность чисел , сходящаяся к корню . Как только окажется , можно положить . Такая последовательность называется последовательностью приближений, а определяющий её метод – методом последовательных приближений.

Первый способ удобен тем, что позволяет легко устанавливать завершение процесса уточнения, поскольку отрезки изоляции и их длины на каждом шаге вычислений известны.

Непосредственную проверку условия из второго способа проводить не удается, ибо известен только корень . В то же время для каждого метода последовательных приближений есть возможность получить неравенства вида

(2)

Здесь – числовое выражение, значения которого при каждом характеризуют степень близости приближения к корню, обеспечиваемую данным методом. Из (2) следует, что за условие окончания процесса приближений можно взять неравенство: .

Неравенство (2) позволяет решить и задачу определения абсолютной погрешности каждого приближения , ибо ясно, что .

Таким образом, отделить корни, значит задать такие отрезки, на которых корень существует и он единственный. Полученный отрезок будет интервалом неопределенности корня, а половина длины отрезка – оценкой абсолютной погрешности. Отделение корней обычно производится графически и (или) аналитически.

Графический способ отделения корней уравнения (1) заключается в поиске таких отрезков , внутри которых находится абсцисса точки пересечения графика функции с осью , т.е. нуль функции .


Дата добавления: 2015-07-11; просмотров: 173 | Нарушение авторских прав






mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)