Читайте также:
|
Пусть 
определена на 
и удовлетворяет на отрезке 
. Разложим её в ряд Фурье. Положим 
и рассмотрим функцию 
. Разложим 
на в ряд Фурье: 
, где 
.
Перейдем к примеру 
(4)примет вид:
,
.
№10. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения и их системы. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского.
Опр1 Обыкновенным диф-ым уравн-м называется рав-во, содержащее независимую переменную х, независимую функцию у и ее производные у′,у′′,…,у(n): F(x,y, у′,у′′,…,у(n))=0 (1), F, если не оговорено предполагают действительной функцией.
Опр2. Диф-ое уравн-ие 1го порядка называется линейным, если его можно записать в виде у′+p(x)y=g(x),где p(x) и g(x) заданные функции, в частности постоянные. Линейным диф-м ур-м 2го порядка назыв-ся уравнение вида a(x) у′′+b(x) у′+c(x)y=f(x), где a(x)≠0,b(x),c(x),f(x)функции непрерывные на инт (а,b).Уравнение вида у(n)+an-1y(n-1)+a1y′+a0y=0, где a0, a1,…, an-1=const(числа ≠0) назыв-ся линейным однородным уравнением n-го порядка.
Опр3 Пусть у1=у1(х),у2=у2(х) два каких-либо частных решения однородного диф-го уравн-я 2го порядка. Определитель вида W(x)= 
наз-ся определителем Вронского или вронскианом для у1 и у2.
Если опред-ль Вронского в точке х0=0, то он =0 на всем интерв (a,b).Если опред Вронск в точке х0≠0, то он ≠0 ни в одной точке инт-ла (a,b).
Опр4 Система частных решений у1=у1(х),у2=у2(х) однородного диф-го уравн-я 2го порядка наз-ся фундаментальной системой решения этого уравнения,если W(x) ≠0 на (a,b).
Опр5 Системой дифференциальных уравнений наз-ся система вида: 
Опр6 Система вида 
= 
=…= 
наз-ся системой диф-ых ур-й в симметричной форме(?).
Опр7 Система диф-ых ур-й наз-ся линейной,если она линейна относительно неизвестных функций и их производных. Система n-линейных ур-ий 1го порядка, записанная в: 
или в матричной векторной форме
Опр8 Система n линейно независимых решений системы 
наз-ся ее фундаментальной системой решений,здесь A=A(t)-квадратная матрица разм. n 
n,элементы кот aij(t),ij=1,2,…,n непрерывные функции на I.
№11 Опр1 Интегр-м уравн-м наз-т ур-ие,которое сод-т некотор искомую функцию под знаком интегр.
Опр2 Ур-ие вида 
K(t,τ)y(τ)dτ + f(t), где y(t) -искомая функция,а f(t) - задан на интерв (a,b) функция наз-ся ур-ем Фредгольма 2го рода. Уравнение вида 
K(t,τ)y(τ)dτ = f(t) наз-ся ур-ем Фредгольма 1го рода, где K(t,τ) -ядро этих интегр-х уравнений, f(t) -свободный член.
Опр3 Ядро интегр-го ур-ия K (t,τ),которое можно представить в виде
K(t,τ)= 
наз-ся вырожденным ядром.
Уравнение Фредгольма с вырожденным ядром выглядит так: 
,
λ-параметр.
12. Вероятностное пространство. Случайные величины. Закон больших чисел в форме Чебышева.
Опр. Набор трёх объектов 
, где 
-произвольное непустое множество, 
-алгебра подмножеств , 
- мера на 
и 
, наз. Вероятностным пространством.
Пусть дано вероятностное пространство и под случайной величиной 
понимаем некоторую функцию.
Опр. Числовая функция от элементарного события 
называется случайной величиной, если для любого числа x справедливо: 
.
Смысл определения: т.к. не любое подмножество является событием и все события составляют 
-алгебру подмножеств 
, то естественно рассмотреть такие 
, для которых имеет смысл говорить о вероятности попадания 
в достаточно простые числовые множества 
.
Известно, что нельзя заранее предвидеть, какие из возможных значений примет случайная величина в результате испытания, но при некоторых широких условиях суммарное поведение достаточно большого числа случ. Величин утрачивает случайный характер и становится закономерным. Эти условия указывают в теоремах под общим названием закон больших чисел.
Теорема (нер-во Чебышева). Для любого 
>0 имеют место неравенства:
и 
.
Теорема (Чебышева). Если 
последовательно независимые случ. Величины и существует 
и 
для любого 
справедливо 
.
Дата добавления: 2015-07-11; просмотров: 129 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Сходимость ряда Фурье. | | | В.13. Задача Коши для уравнения колебания струны. Формула Даламбера. |