Читайте также:
|
Пусть в области 
комплексной плоскости z задана функция f(z). Если для точки 
существует при 
предел разностного отношения 
, то этот предел называется производной функции f(z) по комплексной переменной 
в точке 
и обозначается 
, т.е. 
(1)
Функция f(z) в этом случае называется дифференцируемой в точке .
Т.1. Если функция 
дифференцируема в точке 
, то в точке 
существуют частные производные функций 
и 
по переменным 
, причем имеют место следующие соотношения:
(2) – условие Коши – Римана.
Т.2. Если в точке функции и дифференцируемы, а их частные производные связаны соотношениями (2), то функция 
является дифференцируемой функцией комплексной переменной z в точке .
Если функция f(z) дифференцируема во всех точках некоторой области , а её производная непрерывна в этой области, то функция f(z) называется аналитической функцией в области .
Н. и Д. условием аналитичности функции 
в области является существование в этой области непрерывных частных производных функций и , связанные соотношениями Коши – Римана(2).
Соотношение (2) позволяют получить различные выражения для производной функции комплексной переменной
Пусть f(z) – аналитическая функция в некоторой области . Выберем любую точку и проведем через нее произвольную кривую 
. Функция f(z) производит отображение области комплексной плоскости z на некот. обл. 
комплексной плоскости 
.
Пусть точка переходит в точку 
, а кривая 
- в проходящую через кривую 
.
Существует производная 
функции 
в точке . Пусть 
и представим в комплексной форме: 
(3)
Выберем такой способ стремления 
к нулю, при котором точки 
лежит на кривой . Соответствующие им точки 
лежит на кривой . Комплексной числа и 
изображаются векторами секущих к кривым и соответственно. Заметим, что 
и 
имеют геометрический смысл углов соответствующих векторов с положительными направлениями осей x и u, а 
и 
- длины этих векторов. При векторы секущихся переходят в векторы касательных к соответствующим кривым. Из (3): 
(4) т.е аргумент 
производной имеет геометрический смысл разности угла 
вектора касательной к кривой в точке с осью u и угла 
вектора касательной к кривой в точке с осью x.
Т.к. производная 
не зависит от способа предельного перехода, то эта разность будет той же и для любой другой кривой, проходящей через точку . Отсюда следует, что при отображении, осуществимом аналитической функцией 
, удовлетворяющей условием , угол 
между любыми кривыми 
и , пересекающимися в точке , равен углу 
между их образами (кривыми 
и ), пересекающимися в точке 
. При этом сохраняется не только абсолютная величина углов между кривыми и и их образами, но и направление углов. Это свойство называется свойство сохранения углов.
Из (3) получим 
(5)
Ге6ометрический смысл этого соотношения состоит в том, что при отображении, осуществляемом аналитической функцией, удовлетворяющей условию , бесконечно малые линейные элементы преобразуются подобным образом, причем 
определяет коэффициент преобразования подобия. Это свойство называется свойством постоянного растяжения.
Дата добавления: 2015-07-11; просмотров: 278 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Вычисление криволинейного интеграла первого рода. | | | Опр.: Ряд вида (1) называется степенным рядом. |