В.5. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций.

1) Пусть дана последовательность, элементами которой являются функции (1) и определены в некоторой области . Такая последовательность называется функциональной.

Последовательность (1) называется ограниченной на X, если для любого n, .

Последовательность (1) называется сходящейся на X, если для любого фиксированного последовательность сходится (как числовая последовательность).

Если посл. (1) сходится на X, то функция определенная для любых значений равенством называется пределом последовательности.

Рассмотрим ряд, членами которого являются функции от одной и той же переменной в некоторой области : (2)

- называется частичной суммой n-го порядка, - ый остаток.

Ряд (2) называется сходящимся на X, если последовательность его частные сумм сх-ся на этом множ-ве. При этом предел частичных сумм наз-ся суммой ряда и пишут , и говорят, что функция раскладывается в ряд (2).

Множ-во всех значений , при которых ряд (2) сх-ся, наз-ся областью сходимости ряда.

2)Пусть . Рассмотрим посл-ть .

Если бы точек было бы конечное число, то из всех N можно бало бы выбрать максимальное, для кот. для выполнялось бы (*)

Но как правило принадлежит множеству у которых точек бесконечно много, поэтому нер-во (*) может и не выполняться для всех , начиная с одного и того же, но сущ-ние посл-ти функций, сходящейся в промежутке обладает особенностью такой, что для них N можно выбрать в зависимости от и так, что N не зависит от и выполняется неравенство (*).

Опр.: Функциональная последовательность называется равномерно сходящейся на X, если для .

Опр.: Если частичная сумма стремится к сумме ряда равномерно относительно в области X, то говорят, что ряд (2) равномерно сходится в этой области.

ИЛИ Ряд (2), сходящийся для всех из области X, называется равномерно сходящейся в этой области, если для каждого числа .

Дата добавления: 2015-07-11