Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Разложение периодической функции в ряд Фурье

Читайте также:
  1. F 06. Другие психические расстройства вследствие повреждения или дисфункции головного мозга, либо физической болезни.
  2. Setup Functions /Функции установки
  3. АИС в музее: цели, задачи, функции
  4. Асимптоты графика функции.
  5. Б) Пересмотр понятий «функции» и принципов ее локализации
  6. Базовые функции маркетинговой информационной системы
  7. Бесконечно-малые и бесконечно большие функции. Эквивалентность функций.

 

Множество, включающее функции cosnw0t и sinnw0t (n=0,1,2,…), является полным и ортогональным на интервале (t0,t0+2p/w0). Любую периодическую функцию можно представить в виде разложения на интервале (t0,t0+2p/w0) в виде ряда Фурье [10, 12]

f(t)=a0+a1cosw0t +a2cos2w0t +….+ancosnw0t +…

+b1sinw0t +b2sin2w0t +…bnsinnw0t +…. (1.1)

где w0 - частота первой гармоники, а T=2p/w0 - длительность интервала разложения (период первой гармоники).

Коэффициенты спектра разложения определяются по формулам (см. формулу (1.4) разд1.2)

, (1.2)

, (1.3)

, (1.4)

Множество комплексных экспоненциальных функций (n=0,1,2,…) ортогонально на интервале (t0,t0+2p/w0). Тогда функцию f(t) можно представить на интервале (t0,t0+2p/w0) в виде разложения в экспоненциальный ряд Фурье

. (1.5)

Коэффициенты F0, Fn и F-n спектра разложения определяются по формулам

; ; . (1.6)

Учитывая, что =cosnw0t+jsinnw0t, =cosnw0t-jsinnw0t, подставив выражения экспонент, выраженных через тригонометрические функции, в ряд (1.5), получим формулы, устанавливающие связи между коэффициентами an, bn и Fn:

а0=F0, an=Fn+F-n, bn=j(Fn+F-n), Fn=0,5(an-jbn), F-n=0,5(an+jbn).

Для формулы (4.1) определим коэффициенты ak=ckcosjk, bk=cksinjk, тогда, учитывая, что , получим , tgjk=bk/ak.

Ряд (1.1) можно записать в вещественной форме (обобщенный ряд Фурье):

, (1.7)

где ck, jk, kw0 - соответственно амплитуда, фаза и частота k–ой гармоники. Угловая частота основной гармоники равна w0=2p/T.

Рассмотрим пример разложения f(t)=At, (0<t<1) на [0,1], Т=1, w0=2p/T=2p, t0=0. Тогда f(t)=a0+a1cos2pt +a2cos4pt +…+b1sin2pt +b2sin4pt +…. Коэффициенты разложения определятся по формулам:

, ,

.

Разложение f(t) в ряд Фурье примет вид

.

Разложение этой же функции f(t) в экспоненциальный ряд Фурье будет иметь вид

F0=А/2, , .

 


Дата добавления: 2015-10-21; просмотров: 69 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Состояния дискретного канала | Пакеты ошибок | Описание источника ошибок на основе цепей Маркова | Описание источника ошибок на основе процессов восстановления | Описание источника ошибок на основе процессов накопления | Модель Гилберта | Сообщения, сигналы и помехи как случайные процессы | Система базисных функций | Критерий оценки точности | Способы воспроизведения сигнала |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Квантование сигнала| Комплексный спектр сигнала

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.005 сек.)