Читайте также:
|
|
Множество, включающее функции cosnw0t и sinnw0t (n=0,1,2,…), является полным и ортогональным на интервале (t0,t0+2p/w0). Любую периодическую функцию можно представить в виде разложения на интервале (t0,t0+2p/w0) в виде ряда Фурье [10, 12]
f(t)=a0+a1cosw0t +a2cos2w0t +….+ancosnw0t +…
+b1sinw0t +b2sin2w0t +…bnsinnw0t +…. (1.1)
где w0 - частота первой гармоники, а T=2p/w0 - длительность интервала разложения (период первой гармоники).
Коэффициенты спектра разложения определяются по формулам (см. формулу (1.4) разд1.2)
, (1.2)
, (1.3)
, (1.4)
Множество комплексных экспоненциальных функций (n=0,1,2,…) ортогонально на интервале (t0,t0+2p/w0). Тогда функцию f(t) можно представить на интервале (t0,t0+2p/w0) в виде разложения в экспоненциальный ряд Фурье
. (1.5)
Коэффициенты F0, Fn и F-n спектра разложения определяются по формулам
; ; . (1.6)
Учитывая, что =cosnw0t+jsinnw0t, =cosnw0t-jsinnw0t, подставив выражения экспонент, выраженных через тригонометрические функции, в ряд (1.5), получим формулы, устанавливающие связи между коэффициентами an, bn и Fn:
а0=F0, an=Fn+F-n, bn=j(Fn+F-n), Fn=0,5(an-jbn), F-n=0,5(an+jbn).
Для формулы (4.1) определим коэффициенты ak=ckcosjk, bk=cksinjk, тогда, учитывая, что , получим , tgjk=bk/ak.
Ряд (1.1) можно записать в вещественной форме (обобщенный ряд Фурье):
, (1.7)
где ck, jk, kw0 - соответственно амплитуда, фаза и частота k–ой гармоники. Угловая частота основной гармоники равна w0=2p/T.
Рассмотрим пример разложения f(t)=At, (0<t<1) на [0,1], Т=1, w0=2p/T=2p, t0=0. Тогда f(t)=a0+a1cos2pt +a2cos4pt +…+b1sin2pt +b2sin4pt +…. Коэффициенты разложения определятся по формулам:
, ,
.
Разложение f(t) в ряд Фурье примет вид
.
Разложение этой же функции f(t) в экспоненциальный ряд Фурье будет иметь вид
F0=А/2, , .
Дата добавления: 2015-10-21; просмотров: 69 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Квантование сигнала | | | Комплексный спектр сигнала |