Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Способы воспроизведения сигнала

Читайте также:
  1. I. Основные приемы (способы выполнения).
  2. III. Другие астрономические способы, которыми получается та же самая дата для времени возникновения Апокалипсиса и подтверждается предыдущее вычисление
  3. А) Исследование восприятия и воспроизведения звуковысотных отношений
  4. Б) Исследование восприятия и воспроизведения ритмических структур
  5. Божьи способы выздоровления
  6. Виды и способы статистического наблюдения
  7. Виды тригонометрических уравнений и способы их решения

 

Способы воспроизведения сигнала характеризуются [8, 11]: видом базисных функций и формой дискретного представления сигнала (видом координат), определяющими тип аппроксимирующего полинома и характер аппроксимации; числом отсчетов аппроксимирующего ряда.

При ортогональном представлении сигнала выбирается критерий среднеквадратичного приближения. Координаты разложения ak определяются по формуле

. (2.1)

Представление сигнала в виде ряда (2.1) является оптимальным, т.к. он минимизирует число координат при заданной степени полинома и величине допустимой среднеквадратичной ошибки.

Для ортогонального представления сигнала процесс временной дискретизации сводится к вычислению коэффициентов ряда Фурье. Однако это имеет недостаток, обусловленный ограниченной точностью вычисления коэффициентов Фурье и сложностью устройства временной дискретизации.

В технике распространены неортогональные представления сигналов в виде линейно независимых базисных функции вида

или .

Тогда ряд (2.1) принимает вид

(2.2.)

или

(2.3)

Из теории приближений известно, что если разложение x(t) функции в степенной ряд (2.2) сходится при n®¥, то оно является разложением в ряд Тейлора

,

где xk(t0) - k -я производная x(t) в точке t0. Таким образом, для нахождения координат a0=x(t0) и ak=xk(t0)/k! необходимо знать x(t0) и xk(t0).

Приближение с помощью полиномов Тейлора основано на представлении (экстраполяции) возможного поведения сигнала x(t) на интервале аппроксимации по коэффициентам ai, i=0,1,…,n, соответствующим начальному моменту времени t0. Сигнал воспроизводится без задержки.

Выбор в качестве координат значений сигнала x(tk) при условии совпадения значений аппроксимирующего полинома (2.3) с функцией x(tk) в точках tk, называемых узлами интерполяции, приводит к интерполирующему полиному Лагранжа

.

2.4.1. Выбор шага дискретизации по временным характеристикам сигнала. В.А. Котельниковым доказана теорема для функции с ограниченным спектром, согласно которой функция полностью определяется дискретным множеством своих значений (отсчетов), взятых с частотой счета F0=2fm, где fm - максимальная частота в спектре S(jw) сигнала x(t).

Сигнал x(t) может быть восстановлен без погрешностей по точным значениям выборок x(tk) в виде

. (2.4)

Интерполяционный ряд (2.4) называется рядом Котельникова.

Сигнал x(t) - непрерывная функция и имеет ограниченный спектр, т.е.

,

удовлетворяющий условию S(jw)=0 при |w|>wm, т.е. в представлении сигнала рядом Фурье

. (2.5)

Рассматривая S(jw) как функцию частоты, период которой равен величине 2wm, можно разложить эту функцию в ряд Фурье на интервале [-wm,wm]:

, где (2.6)

Сравнивая формулы (2.5) и (2.6), видим, что они совпадают с точностью до постоянного множества Dt=p/wm, если принять t=-kDt, т.е.

, тогда .

Подставим это выражение в (2.5), изменив при этом знак с учетом того, что суммирование производится по всем отрицательным и положительным значениям k. Учитывая сходимость ряда и интеграла Фурье, изменим порядок операций интегрирования и суммирования

, (2.7)

причем . (2.8)

Подставив (2.8) в формулу (2.7), получим формулу (2.4).

Таким образом, непрерывная функция x(t) с ограниченным спектром может быть точно представлена отсчетами x(kDt), взятыми через равные интервалы Dt=1/2Fm=p/wm.

Функцию называют функцией отсчетов.

Теорема Котельникова сохраняет свой смысл применительно к случайным процессам с ограниченным спектром. Если известна автокорреляционная функция Rx(t), то шаг дискретизации выбирается равным интервалу корреляции

.

Реальные сигналы ограничены и спектр их бесконечен. Тогда ряд Котельникова дает приближенное математическое описание сигнала с неограниченным спектром.

Энергетический критерий имеет вид

,

где – энергия ошибки d(t) (погрешность аппроксимации)

На практике вводят ограничение fm и рассматривают конечный спектр. Функция может быть представлена числом отсчетов N=tm/Dt. Исходный сигнал восстанавливается полиномом Котельникова с некоторой погрешностью, т.е. полином следует рассматривать как аппроксимирующую функцию x*(t):

.

При крутом спаде спектра оценка относительной среднеквадратичной погрешности определится

,

где Р – мощность сигнала, причем

,

где Е – полная энергия сигнала определится по формуле

.

2.4.2. Выбор шага дискретизации по производным сигнала. Рассматривается функция x(t), непрерывная на интервале наблюдения и имеющая ограниченное число конечных и непрерывных производных. Опишем x(t) аппроксимирующим полиномом

,

где Rn+1(t) – остаточный член, определяющий функцию погрешности аппроксимации d(t)=x(t)-x*(t)= Rn+1(t).

На практике в качестве аппроксимирующей функции обычно используют экстраполирующий полином Тейлора или интерполирующий полином Лагранжа. Критерий приближения – равномерный и максимальная погрешность воспроизведения определится по формуле

max|d(t)|=max|Rn+1(t)|=|dm|£A(Dt,Mn+1),

где A(Dt,Mn+1) - оценка сверху, зависящая от шага Dt и Mn+1 - модуля-максимума (n+1) -й производной сигнала.

Решение уравнения A(Dt,Mn+1)=dД, где dД – допустимая погрешность воспроизведения, относительно Dt дает формулу для расчета шага дискретизации.

Погрешность воспроизведения оценивается первым отброшенным членом полинома, т.е. d(t)»an+1jn+1(t).

Рассмотрим экстраполяцию сигнала полиномом Тейлора нулевой степени (ступенчатая экстраполяция), n=0, x*(t)»x(t0).

На рис.2.2 приведена иллюстрация выбора шага дискретизации.

Погрешность оценим первым отброшенным членом ряда - d(t)»x(1)(t0)(t-t0). Очевидно, что это уравнение прямой (см. рис.2.2). Тогда x(t)»x(t0)x(1)(t0)(t-t0). Так как t-t0 максимально при t=t1,то

.

 

Рис.2.2

Погрешность будет принимать наибольшее значение при максимуме первой производной x(1), тогда

,

где М1 – модуль-максимум первой производной.

На рис.2.3 приведена иллюстрация экстраполяции сигнала полиномом Тейлора при n=0.

Рис.2.3

Рассмотрим экстраполяцию сигнала полиномом Тейлора первой степени (линейная экстраполяция): n=1, x*(t)»x(t0)+x(1)(t0)(t-t0).

Сигнал будет представлен в виде ряда

.

На рис.2.4 приведена иллюстрация выбора шага дискретизации.

Рис.2.4

Погрешность воспроизведения сигнала определится по формуле

. Тогда , где М2 - модуль-максимум второй производной. На рис.2.5 приведена иллюстрация экстраполяции сигнала полиномом Тейлора при n=1.

Рис.2.5

Рассмотрим интерполяцию сигнала полиномом Лагранжа нулевой степени: n=0, x*(t)»x(t*). Отсчет берется в любой точке t* интервала Dt. Отсчет лучше брать в середине интервала, тогда x*(t)=x(t*),

На рис.2.6 приведена иллюстрация выбора шага дискретизации.

Ориентируясь на наихудший случай, т.е. на наибольшее значение x(1) на интервале наблюдения, получим

. Тогда .

Задержка воспроизведения сигнала составит половину шага дискретизации. На рис.2.7 приведена иллюстрация интерполяции сигнала полиномом Лагранжа при n=0. Данная интерполяция называется ступенчатой интерполяцией.

Рис.2.6

 

Рис.2.7

Рассмотрим интерполяцию сигнала полиномом Лагранжа первой степени: n=1, . На рис.2.8 приведена иллюстрация выбора шага дискретизации.

Данная интерполяция называется линейной, а сигнал описывается с требуемой точностью полиномом Лагранжа второй степени:

.

Полагая t0=0 и вводя t=t-t0, оценим погрешность воспроизведения: d(t)=x(t)-x*(t)=Bt(t-t1), tÎDt, где

.

 

Рис.2.8

Погрешность d(t) примет наибольшее значение при t=t*=Dt/2, тогда

. Следовательно, .

На рис.2.9 приведена иллюстрация интерполяции сигнала полиномом Лагранжа при n=1.

2.4.3. Выбор шага дискретизации по вероятностным характеристикам сигнала. Рассматривается сигнал - случайная стационарная функция. Принята равномерная временная дискретизация, ступенчатая экстраполяция и среднеквадратичный критерий приближения. На рис.2.10 приведена иллюстрация выбора шага дискретизации.

 

Рис.2.9 Рис.2.10

Среднеквадратичная ошибка воспроизведения в конце участков аппроксимации ti, 1=1,2,3,…, определится

s2=M{[x(ti)-x*(t)]2}=M{[x(ti)-x(ti-Dt)]2}.

При ступенчатой экстраполяции x*(t)=x(ti-Dt)=x(ti). Учтем, что

M{x2(ti)}=M{x2(ti-Dt)}=Dx+mx2; M{x(ti)x(ti-Dt)}=Bx(Dt)+mx2, тогда s2=2[Dx - Bx(Dt)].

Шаг дискретизации определится решением уравнения s2³2[Dx - Bx(Dt)].

Рассмотрим линейную интерполяцию. Воспроизводящая функция имеет вид

.

Выполним следующие преобразования:

.

Пусть , тогда x*(t)=(1-c)x(t0)+cx(t1).

Среднеквадратичная ошибка воспроизведения определится

s2=M{[x(t)-x*(t)]2}=M{[x(t)-(1-c)x(t0)-cx(t1)]}.

Учитывая, что M{x2(t)}=Dx+mx2=М{x2(t0)}=М{x2(t1)}; M{x(t)x(t0)}=Bx(t-t0)+mx2, M{x(t)x(t1)}=Bx(t-t1)+mx2, M{x(t0)x(t1)}=Bx(t1-t0)+mx2, t1-t0=Dt, получим

s2=Dx[1-(1-c)2+c2]-2(1-c)Bx(t-t0)-2cBx(t-t1)+2c(1-c)Bx(Dt).

Среднеквадратичная ошибка воспроизведения будет наибольшей в середине участка аппроксимации, т.е. при c=0,5, t-t0=Dt/2, t-t1=Dt/2. Тогда

.

Для заданного значения средней погрешности sД величина щага дискретизации должна выбираться из условия

.

 


Дата добавления: 2015-10-21; просмотров: 97 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Помехи в каналах связи | Описание дискретного канала | Состояния дискретного канала | Пакеты ошибок | Описание источника ошибок на основе цепей Маркова | Описание источника ошибок на основе процессов восстановления | Описание источника ошибок на основе процессов накопления | Модель Гилберта | Сообщения, сигналы и помехи как случайные процессы | Система базисных функций |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Критерий оценки точности| Квантование сигнала

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.018 сек.)