Читайте также:
|
|
Способы воспроизведения сигнала характеризуются [8, 11]: видом базисных функций и формой дискретного представления сигнала (видом координат), определяющими тип аппроксимирующего полинома и характер аппроксимации; числом отсчетов аппроксимирующего ряда.
При ортогональном представлении сигнала выбирается критерий среднеквадратичного приближения. Координаты разложения ak определяются по формуле
. (2.1)
Представление сигнала в виде ряда (2.1) является оптимальным, т.к. он минимизирует число координат при заданной степени полинома и величине допустимой среднеквадратичной ошибки.
Для ортогонального представления сигнала процесс временной дискретизации сводится к вычислению коэффициентов ряда Фурье. Однако это имеет недостаток, обусловленный ограниченной точностью вычисления коэффициентов Фурье и сложностью устройства временной дискретизации.
В технике распространены неортогональные представления сигналов в виде линейно независимых базисных функции вида
или .
Тогда ряд (2.1) принимает вид
(2.2.)
или
(2.3)
Из теории приближений известно, что если разложение x(t) функции в степенной ряд (2.2) сходится при n®¥, то оно является разложением в ряд Тейлора
,
где xk(t0) - k -я производная x(t) в точке t0. Таким образом, для нахождения координат a0=x(t0) и ak=xk(t0)/k! необходимо знать x(t0) и xk(t0).
Приближение с помощью полиномов Тейлора основано на представлении (экстраполяции) возможного поведения сигнала x(t) на интервале аппроксимации по коэффициентам ai, i=0,1,…,n, соответствующим начальному моменту времени t0. Сигнал воспроизводится без задержки.
Выбор в качестве координат значений сигнала x(tk) при условии совпадения значений аппроксимирующего полинома (2.3) с функцией x(tk) в точках tk, называемых узлами интерполяции, приводит к интерполирующему полиному Лагранжа
.
2.4.1. Выбор шага дискретизации по временным характеристикам сигнала. В.А. Котельниковым доказана теорема для функции с ограниченным спектром, согласно которой функция полностью определяется дискретным множеством своих значений (отсчетов), взятых с частотой счета F0=2fm, где fm - максимальная частота в спектре S(jw) сигнала x(t).
Сигнал x(t) может быть восстановлен без погрешностей по точным значениям выборок x(tk) в виде
. (2.4)
Интерполяционный ряд (2.4) называется рядом Котельникова.
Сигнал x(t) - непрерывная функция и имеет ограниченный спектр, т.е.
,
удовлетворяющий условию S(jw)=0 при |w|>wm, т.е. в представлении сигнала рядом Фурье
. (2.5)
Рассматривая S(jw) как функцию частоты, период которой равен величине 2wm, можно разложить эту функцию в ряд Фурье на интервале [-wm,wm]:
, где (2.6)
Сравнивая формулы (2.5) и (2.6), видим, что они совпадают с точностью до постоянного множества Dt=p/wm, если принять t=-kDt, т.е.
, тогда .
Подставим это выражение в (2.5), изменив при этом знак с учетом того, что суммирование производится по всем отрицательным и положительным значениям k. Учитывая сходимость ряда и интеграла Фурье, изменим порядок операций интегрирования и суммирования
, (2.7)
причем . (2.8)
Подставив (2.8) в формулу (2.7), получим формулу (2.4).
Таким образом, непрерывная функция x(t) с ограниченным спектром может быть точно представлена отсчетами x(kDt), взятыми через равные интервалы Dt=1/2Fm=p/wm.
Функцию называют функцией отсчетов.
Теорема Котельникова сохраняет свой смысл применительно к случайным процессам с ограниченным спектром. Если известна автокорреляционная функция Rx(t), то шаг дискретизации выбирается равным интервалу корреляции
.
Реальные сигналы ограничены и спектр их бесконечен. Тогда ряд Котельникова дает приближенное математическое описание сигнала с неограниченным спектром.
Энергетический критерий имеет вид
,
где DЕ – энергия ошибки d(t) (погрешность аппроксимации)
На практике вводят ограничение fm и рассматривают конечный спектр. Функция может быть представлена числом отсчетов N=tm/Dt. Исходный сигнал восстанавливается полиномом Котельникова с некоторой погрешностью, т.е. полином следует рассматривать как аппроксимирующую функцию x*(t):
.
При крутом спаде спектра оценка относительной среднеквадратичной погрешности определится
,
где Р – мощность сигнала, причем
,
где Е – полная энергия сигнала определится по формуле
.
2.4.2. Выбор шага дискретизации по производным сигнала. Рассматривается функция x(t), непрерывная на интервале наблюдения и имеющая ограниченное число конечных и непрерывных производных. Опишем x(t) аппроксимирующим полиномом
,
где Rn+1(t) – остаточный член, определяющий функцию погрешности аппроксимации d(t)=x(t)-x*(t)= Rn+1(t).
На практике в качестве аппроксимирующей функции обычно используют экстраполирующий полином Тейлора или интерполирующий полином Лагранжа. Критерий приближения – равномерный и максимальная погрешность воспроизведения определится по формуле
max|d(t)|=max|Rn+1(t)|=|dm|£A(Dt,Mn+1),
где A(Dt,Mn+1) - оценка сверху, зависящая от шага Dt и Mn+1 - модуля-максимума (n+1) -й производной сигнала.
Решение уравнения A(Dt,Mn+1)=dД, где dД – допустимая погрешность воспроизведения, относительно Dt дает формулу для расчета шага дискретизации.
Погрешность воспроизведения оценивается первым отброшенным членом полинома, т.е. d(t)»an+1jn+1(t).
Рассмотрим экстраполяцию сигнала полиномом Тейлора нулевой степени (ступенчатая экстраполяция), n=0, x*(t)»x(t0).
На рис.2.2 приведена иллюстрация выбора шага дискретизации.
Погрешность оценим первым отброшенным членом ряда - d(t)»x(1)(t0)(t-t0). Очевидно, что это уравнение прямой (см. рис.2.2). Тогда x(t)»x(t0)x(1)(t0)(t-t0). Так как t-t0 максимально при t=t1,то
.
Рис.2.2
Погрешность будет принимать наибольшее значение при максимуме первой производной x(1), тогда
,
где М1 – модуль-максимум первой производной.
На рис.2.3 приведена иллюстрация экстраполяции сигнала полиномом Тейлора при n=0.
Рис.2.3
Рассмотрим экстраполяцию сигнала полиномом Тейлора первой степени (линейная экстраполяция): n=1, x*(t)»x(t0)+x(1)(t0)(t-t0).
Сигнал будет представлен в виде ряда
.
На рис.2.4 приведена иллюстрация выбора шага дискретизации.
Рис.2.4
Погрешность воспроизведения сигнала определится по формуле
. Тогда , где М2 - модуль-максимум второй производной. На рис.2.5 приведена иллюстрация экстраполяции сигнала полиномом Тейлора при n=1.
Рис.2.5
Рассмотрим интерполяцию сигнала полиномом Лагранжа нулевой степени: n=0, x*(t)»x(t*). Отсчет берется в любой точке t* интервала Dt. Отсчет лучше брать в середине интервала, тогда x*(t)=x(t*),
На рис.2.6 приведена иллюстрация выбора шага дискретизации.
Ориентируясь на наихудший случай, т.е. на наибольшее значение x(1) на интервале наблюдения, получим
. Тогда .
Задержка воспроизведения сигнала составит половину шага дискретизации. На рис.2.7 приведена иллюстрация интерполяции сигнала полиномом Лагранжа при n=0. Данная интерполяция называется ступенчатой интерполяцией.
Рис.2.6
Рис.2.7
Рассмотрим интерполяцию сигнала полиномом Лагранжа первой степени: n=1, . На рис.2.8 приведена иллюстрация выбора шага дискретизации.
Данная интерполяция называется линейной, а сигнал описывается с требуемой точностью полиномом Лагранжа второй степени:
.
Полагая t0=0 и вводя t’=t-t0, оценим погрешность воспроизведения: d(t’)=x(t’)-x*(t’)=Bt’(t’-t1), t’ÎDt, где
.
Рис.2.8
Погрешность d(t’) примет наибольшее значение при t’=t*’=Dt/2, тогда
. Следовательно, .
На рис.2.9 приведена иллюстрация интерполяции сигнала полиномом Лагранжа при n=1.
2.4.3. Выбор шага дискретизации по вероятностным характеристикам сигнала. Рассматривается сигнал - случайная стационарная функция. Принята равномерная временная дискретизация, ступенчатая экстраполяция и среднеквадратичный критерий приближения. На рис.2.10 приведена иллюстрация выбора шага дискретизации.
Рис.2.9 Рис.2.10
Среднеквадратичная ошибка воспроизведения в конце участков аппроксимации ti, 1=1,2,3,…, определится
s2=M{[x(ti)-x*(t)]2}=M{[x(ti)-x(ti-Dt)]2}.
При ступенчатой экстраполяции x*(t)=x(ti-Dt)=x(ti). Учтем, что
M{x2(ti)}=M{x2(ti-Dt)}=Dx+mx2; M{x(ti)x(ti-Dt)}=Bx(Dt)+mx2, тогда s2=2[Dx - Bx(Dt)].
Шаг дискретизации определится решением уравнения s2³2[Dx - Bx(Dt)].
Рассмотрим линейную интерполяцию. Воспроизводящая функция имеет вид
.
Выполним следующие преобразования:
.
Пусть , тогда x*(t)=(1-c)x(t0)+cx(t1).
Среднеквадратичная ошибка воспроизведения определится
s2=M{[x(t)-x*(t)]2}=M{[x(t)-(1-c)x(t0)-cx(t1)]}.
Учитывая, что M{x2(t)}=Dx+mx2=М{x2(t0)}=М{x2(t1)}; M{x(t)x(t0)}=Bx(t-t0)+mx2, M{x(t)x(t1)}=Bx(t-t1)+mx2, M{x(t0)x(t1)}=Bx(t1-t0)+mx2, t1-t0=Dt, получим
s2=Dx[1-(1-c)2+c2]-2(1-c)Bx(t-t0)-2cBx(t-t1)+2c(1-c)Bx(Dt).
Среднеквадратичная ошибка воспроизведения будет наибольшей в середине участка аппроксимации, т.е. при c=0,5, t-t0=Dt/2, t-t1=Dt/2. Тогда
.
Для заданного значения средней погрешности sД величина щага дискретизации должна выбираться из условия
.
Дата добавления: 2015-10-21; просмотров: 97 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Критерий оценки точности | | | Квантование сигнала |