XX. Связь между системными функциями и разностными уравнениями. Прямая и каноническая схемы цифровых САУ.

Дифференциальные уравнения применимы для аналоговых систем, а цифро­вые системы описываются разностными уравнениями. В разностных уравнениях время изменяется через конечный временной интервал Т - период дискретизации.

Инерционное звено с передаточной функцией описывается дифференциальным уравнением, следующим из соотношения откуда тогда .

Так как то введя в дифференциальное уравнение дискретное время вместо t, полу­чим следующее разностное уравнение или где .

Этим уравнением описывается цифровое инерционное звено первого порядка. Системные функции W(z) цифровых звеньев можно представить в двух фор­мах:

с положительными степенями z в виде (8.10)

с отрицательными степенями z, которая получается из (8.10) умножением числителя и знаменателя на дробь , тогда = (8.11) где , , откуда .

Вторая форма записи W(z) используется чаще.

По определению и с учетом (8.11) имеем: откуда

Перейдя от изображений к оригиналам, из этого выражения получим следую­щее разностное уравнение при : (8.12) где m - порядок разностного уравнения.

В теории дробно-рациональных функций доказано, что системная функция при четных m может быть представлена

= , = , где - системные функции биквадратных звеньев, которые описываются выражением

При параллель­ном соединении соответствует следующее разностное уравнение (индекс опущен)

+ - .

Вычисление этого разностного уравнения осуществляется по схеме цифрового звена, приведенной на рис.8.5.а. Первая часть называется нерекурсивной, а вторая часть схемы с обратными связями называется рекурсивной. Нерекурсивной части соответствует числитель выражения (8.34), а рекурсивной части соответствует знаменатель выражения (8.34). Блоки реализуют цифровую линию задержки- последовательный регистр.

где - системная функция нерекурсивной части схемы,

- системная функция рекурсивной части схемы.

Так как от перестановки сомножителей произведения не меняется, то выраже­ние (8.36) можно представить в виде .

Этому выражению соответствует схема цифрового звена второго порядка, при­веденная на рис. 8.5.6.

Так как в этом случае линии задержки рекурсивной и нерекурсивной частей схемы идут параллельно, то их объединяют в одну. Схема на рис. 8.5.6 получила название канонической (образцовой), так как в ней число элементов задержки в 2 раза меньше, чем в схеме на рис. 8.5.а.

Дата добавления: 2015-09-07