Z - преобразование (прямое и обратное, примеры).

При большом числе разрядов АЦП цифровой сигнал x(n) эквивалентен дискретному сигналу , который представляется в виде последовательности взвешенных дельта-функций, площадь которых равна не единице, а значению непрерывного сигнала в моменты взятия отсчетов. Тогда, используя фильтрующее во времени свойство дельта-функций, запишем: (8.1) где n - номера отсчетов.

Возьмем преобразование Лапласа от сигнала (8.1): = = = . (8.2)

По выражению (8.2) определяется дискретное преобразование Лапласа (ДПЛ) по отсчетам x(nT) из непрерывного сигнала. Однако для описания цифровых систем ДПЛ не нашло широкого применения из-за неудобства, связанного с частым повторением в формулах ДПЛ функции . От этого недостатка свободно Z - преобразование, которое следует из ДПЛ введением новой комплексной переменной .

Тогда из (8.2) имеем формулу прямого Z - преобразования для сигнала x(nT) . (8.3)

Сравнивая (8.2) и (8.3), видим, что формула для прямого Z - преобразования проще и компактнее формулы для прямого ДПЛ.

Примеры прямого Z - преобразования.

Единичный импульс

Аналогично для имеем X(p)=1.

Единичный дискретный скачок

= .

Аналогично для x(t)=1(t) имеем откуда следует удобное для практики соответствие между переменной p в преобразовании Лапласа и переменной z в Z - преобразовании .

Наряду с прямым существует обратное Z - преобразование, которое определяется по выражению

= (8.4) где - вычеты X(z). Однократные вычеты определяются по формуле (8.5)

Выражение для X(z) в этой формуле следует представлять в следующем виде:

где , - нули и полюсы функции X(z) соответственно. В табл. 8.1 приведены Z - преобразования наиболее характерных цифровых сигналов x(nT). Часто букву Т в описании этих сигналов опускают, полагая Т=1, т.е. x(nT)=x(n).

Дискретные функции и их Z - преобразования Таблица 8.1

см. прил.

Дата добавления: 2015-09-07