Касательная плоскость к поверхности

Рассмотрим уравнение с тремя переменными . В координат-ном пространстве оно определяет некоторую поверхность ().

Определение 1. Точка называется обыкновенной, если в этой точке существуют конечные производные , причем они не обра-щаются в ноль одновременно. В противном случае точка называется особой.

Определение 2. Прямая линия называется касательной прямой к поверх-ности () в ее обыкновенной точке , если она является касательной к некото-рой линии, лежащей на () и проходящей через точку .

Теорема. Все касательные прямые к поверхности в ее обыкновенной точке лежат в одной плоскости.

Доказательство. Пусть линия

лежит на данной поверхности (): и проходит через ее точку . Это означает следующее:

1) ;

2) существует значение такое, что .

Продифференцируем тождество из пункта 1): ≡ 0.

Рассмотрим этот результат в точке :

Левая часть последнего равенства – это скалярное произведение направляющего вектора касательной к линии в точке

и вектора

,

проекции которого определяются лишь поверхностью () и ее точкой , и не зависит от линии . Но равенство означает, что , т.е. все каса-тельные прямые к () в ее точке перпендикулярны вектору . Это же, в свою очередь, означает, что все эти прямые лежат в одной плоскости и есть нормаль-ный вектор этой плоскости. Теорема доказана.

Определение 3. Плоскость, в которой лежат все касательные прямые к поверхности в ее обыкновенной точке, называется касательной плоскостью.

Уравнение касательной плоскости к поверхности (): в ее обыкновенной точке имеет вид

В случае явного задания поверхности (): уравнение касательной плоскости таково:

.

Определение 4. Прямая, проходящая через точку поверхности () и перпендикулярная касательной плоскости, называется нормалью к поверхности.

Уравнения нормали (канонические):

Пример. К поверхности (): провести касательную плоскость , параллельную плоскости : .

Решение. Нормальный вектор касательной плоскости составлен из частных производных функции , вычисленных в точке касания:

Так как , то и, следовательно , т.е

Таким образом, точка касания такова: Но значит ее координаты удовлетворяют уравнению ():

.

Отсюда и Имеем две точки касания (и две касательные плоскос-ти):

и .

Уравнения касательных плоскостей

и .

После упрощения получим:

и .

Приведем ряд задач для самостоятельного решения.

1) Дана поверхность (): Доказать, что любая каса-тельная плоскость к () образует с координатными плоскостями тетраэдр постоянного объема.

2) Дана поверхность (): . Доказать, что любая касса-тельная плоскость к () отсекает от координатных осей отрезки, сумма длин которых постоянна.

3) Дана поверхность (): где – дифференцируемая функция. Доказать, что все касательные плоскости к () пересекаются в одной точке.

Лекция 20

Дата добавления: 2015-07-24