Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Дифференцируемость и полный дифференциал

Читайте также:
  1. III Полный дифференциал функции нескольких переменных. Дифференциалы высших порядков
  2. АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ПСИХОФИЗИОЛОГИИ
  3. Билет 33. Затухающие электромагнитные колебания. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. Апериодический разряд
  4. Билет 34. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Резонанс
  5. В полный рост
  6. Возможна индивидуальная проработка крий по окончании ретрита (только для тех, кто прошел полный ретрит).
  7. Вычисление приближенного значения функции с помощью дифференциала

 

Напомним, что полным приращением функции в точке

называют разность

Определение 1. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде:

где А, В – некоторые числа, независящие от , а α и β – бесконечно малые при

Теорема 1. Если функция дифференцируема в точке , то: 1) она непрерывна в этой точке; 2) она имеет в этой точке конечные производ- ные, причем .

Доказательство первого утверждения сразу следует из (1) и замечания к §3. Для доказательства второго утверждения положим в (1) тогда Разделив обе части равенства на и устремляя к нулю, получим:

т. е.

Аналогично доказывается и

В отличие от функций одной переменной (для которых дифференциру-емость равносильна существованию конечной производной), для функций нескольких переменных из существования частных производных не следует непрерывность и дифференцируемость. Это доказывается следующим примеров.

Пример. Рассмотрим функцию

Вычислим производную по в начале координат:

.

Аналогично В то же время эта функция не является непрерывной (а следовательно, является недифференцируемой) в начале координат, ибо ее предел в этой точке не существует (см. пример 2 §3).

Таким образом, функция имеет конечные производные в точке , но не является непрерывной в этой точке. Эта ситуация связана с тем, что существование частных производных в точке определяется поведением функции на прямых а непрерывность зависит от поведения функции во всей окрестности точки М 0.

Примем без доказательства теорему, устанавливающую достаточные усло-вия дифференцируемости.

Теорема 2. Если функция имеет частные производные в некото-рой окрестности точки и эти производные непрерывны в самой точке , то функция дифференцируема в точке .

Определение 2. Главная часть полного приращения дифференцируемой функции, линейная относительно приращений аргументов, называется полным дифференциалом функции и обозначается символом :

Если договорится считать дифференциалами независимых переменных их приращения, то формула (2) примет вид:

Обозначим: это расстояние между точками и . Очевидно, что стремление к нулю равносильно одновременному стремлению к нулю приращений и . Формулу (1) можно теперь переписать в виде

Отсюда при малых и получим приближенную формулу

,

которая используется в приближенных вычислениях.

Замечание. С геометрической точки зрения, дифференцируемость функции в точке означает наличие касательной плоскости к графи-ку функции в точке (см. ниже §8).

 

 


Дата добавления: 2015-07-24; просмотров: 127 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Определение функции нескольких переменных | Предел функции нескольких переменных. Непрерывность | Сущестование и дифференцируемость неявной функции | Касательная к кривой в пространстве | Касательная плоскость к поверхности | Производные высших порядков | Экстремумы функции нескольких переменных | Наибольшее и наименьшее значения функции в области | Производная по направлению. Градиент | Метод наименьших квадратов |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Частные производные| Производные сложных функций

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)