Предел функции нескольких переменных. Непрерывность

Для простоты впредь будем рессматривать функции двух переменных.

Определение 1. Число b называют пределом функции z = z (x, y) в точке М ₀(х ₀ ,у ₀) и пишут

,

если для любой последовательности точек сходящейся к точке

M ₀ (т.е x_n → x ₀, y_n → y ₀), имеем

.

Все свойства и теоремы о пределах функций одной переменной остаются справедливы и для ФНП. Правда, для ФНП нет понятия односторонних пределов.

Примеры.

1. Так как sinα ~ α, при α → 0, то

.

2. Рассмотрим функцию и последовательность точек

, сходящаяся к началу координат O (0,0). Соответствующая последовательность значений функции

имеет предел, зависящий от последовательности { M_n }. Следовательно, предел функции в начале координат не существует.

Определение 2. Функция z (x, y) называется непрерывной в точке , если

. (1)

Определение 3. Функция z (x, y) называется непрерывной в области G, если она непрерывна в каждой точке .

Свойства ФНП, непрерывной в ограниченной замкнутой области, аналогичны свойствам функции одной переменной, непрерывной на замкнутом промежутке. Приведем некоторые из них.

1) Функция z(х, y), непрерывная в ограниченной замкнутой области , ограничена в , и достигает наибольшего и наименьшего значений.

2) Если z(х, y) , то в некоторой окрестности точки функция сохраняет знак.

Замечание. Соотношению (1), определяющему непрерывность функции в точке, можно придать другую форму.

Будем называть полным приращением функции z (x, y) в точке

разность:

Если обозначить то нетрудно получить утверждение:

непрерывность функции z (x, y) в точке равносильна равенству

.

Лекция 18

Дата добавления: 2015-07-24