Экстремумы функции нескольких переменных

Пусть функция определена в некоторой области и пусть – внутренняя точка этой области.

Определение 1. Говорят, что функция имеет в точке локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки , в которой выполняется неравенство

().

Если знак “=” достигается только в точке , то максимум (минимум) называется собственным, в противном случае – несобственным. Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Теорема 1. (необходимое условие экстремума). Если функция име-ет экстремум в точке и обладает в этой точке частными производными перво-го порядка, то эти производные обращаются в ноль в точке .

Доказательство. Пусть для определенности – точка максимума функции . Рассмотрим функцию одной переменной Тогда в некоторой окрестности точки , т.е точка – это точка максимума функции . Кроме того, – дифференцируема в точке , ибо . В силу теоремы Ферма , т.е и . Аналогично доказывается и равенство .

Определение 2. Точки, в которых все частные производные первого поряд-ка функции обращаются в , называются стационарными точками данной функии.

Замечание 1. Если – стационарная точка функии , то касательная плоскость к поверхности, заданной уравнением: , в точке имеет уравнение , т.е горизонтальна.

Замечание 2. Экстремумы могут быть не только в стационарных точках, но и в точках, в которых хотя бы одна из производных и не существует или имеет бесконечное значение.

Замечание 3. Не во всякой стационарной точке функция имеет экстремум. Например, для функции точка – стационарная: = y, = x обращаются в ноль в начале координат. Но в этой точке функция не имеет ни мак-симума, ни минимума, ибо , а в любой окрестности этой точки функ-ция принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Чтобы сформулировать достаточное условие экстремума функции двух пе-ременных введем специальные обозначения. Пусть – стационарная точка функции и пусть в ее окрестности существуют непрерывные част-ные производные второго порядка. Обозначим , , , (напомним, что ) и

.

Теорема 2 (достаточное условие экстремума).

1. Функция z= имеет в своей стационарной точке экстремум, если , причем – точка минимума, если , и точка максимума, если .

2. Если , то в точке нет экстремума.

3. Случай требует дополнительного исследования.

Рассмотрим теперь случай функции переменных . Пусть точка – стационарная точка, т.е Предположим, что в некоторой окрестности этой точки существуют непрерывные частные производные второго порядка. Обозначим

i, j = 1,2,…, n.

Из этих чисел составим матрицу . Определители, составленные из эле-ментов первых строк и столбцов, называются главными минорами данной матрицы:

,

Теорема 3. 1) Если все главные миноры положительны, то функция имеет в точке локальный минимум. 2) Если знаки миноров чередуются, причем , то – точка локального максимума.

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию

.

Решение. Находим частные производные первого порядка: Находим стационарные точки:

Имеем две стационарные точки и . Чтобы исследовать эти точ-ки, вычисляем производные второго порядка:

Составим из этих производных определитель:

.

В точке : следовательно, в точке нет экстре-мума. В точке : следовательно, в точке функция имеет экстремум; так как то этот экстремум – минимум.

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию трех переменных

.

Решение. и

Имеем две стационарные точки: и . Далее:

, ,

, , .

Вычислим эти производные в точке и составим матрицу

.

Найдем главные миноры:

Все главные миноры положительные, значит – точка минимума.

В точке матрица вторых проиводных имеет вид

Минор Это означает, что требуется дополнительное исследование. В точ-ке функция равна В то же время, при изменении аргументов функции вдоль прямой

функция имеет вид и в сколь угодно малой окрестности точки принимает как положительные, так и отрицательные значения. Следо-вательно, в этой точке нет экстремума.

Дата добавления: 2015-07-24