Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Экстремумы функции нескольких переменных

Читайте также:
  1. HR– менеджмент: технологии, функции и методы работы
  2. II Частные производные функции нескольких переменных
  3. III Полный дифференциал функции нескольких переменных. Дифференциалы высших порядков
  4. III. Основные функции Управления
  5. IV. Функции
  6. IV. Функции
  7. V2: Период функции

Пусть функция определена в некоторой области и пусть – внутренняя точка этой области.

Определение 1. Говорят, что функция имеет в точке локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки , в которой выполняется неравенство

().

Если знак “=” достигается только в точке , то максимум (минимум) называется собственным, в противном случае – несобственным. Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Теорема 1. (необходимое условие экстремума). Если функция име-ет экстремум в точке и обладает в этой точке частными производными перво-го порядка, то эти производные обращаются в ноль в точке .

Доказательство. Пусть для определенности – точка максимума функции . Рассмотрим функцию одной переменной Тогда в некоторой окрестности точки , т.е точка – это точка максимума функции . Кроме того, – дифференцируема в точке , ибо . В силу теоремы Ферма , т.е и . Аналогично доказывается и равенство .

Определение 2. Точки, в которых все частные производные первого поряд-ка функции обращаются в , называются стационарными точками данной функии.

Замечание 1. Если – стационарная точка функии , то касательная плоскость к поверхности, заданной уравнением: , в точке имеет уравнение , т.е горизонтальна.

Замечание 2. Экстремумы могут быть не только в стационарных точках, но и в точках, в которых хотя бы одна из производных и не существует или имеет бесконечное значение.

Замечание 3. Не во всякой стационарной точке функция имеет экстремум. Например, для функции точка – стационарная: = y, = x обращаются в ноль в начале координат. Но в этой точке функция не имеет ни мак-симума, ни минимума, ибо , а в любой окрестности этой точки функ-ция принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Чтобы сформулировать достаточное условие экстремума функции двух пе-ременных введем специальные обозначения. Пусть – стационарная точка функции и пусть в ее окрестности существуют непрерывные част-ные производные второго порядка. Обозначим , , , (напомним, что ) и

.

Теорема 2 (достаточное условие экстремума).

1. Функция z= имеет в своей стационарной точке экстремум, если , причем – точка минимума, если , и точка максимума, если .

2. Если , то в точке нет экстремума.

3. Случай требует дополнительного исследования.

Рассмотрим теперь случай функции переменных . Пусть точка – стационарная точка, т.е Предположим, что в некоторой окрестности этой точки существуют непрерывные частные производные второго порядка. Обозначим

i, j = 1,2,…, n.

Из этих чисел составим матрицу . Определители, составленные из эле-ментов первых строк и столбцов, называются главными минорами данной матрицы:

,

Теорема 3. 1) Если все главные миноры положительны, то функция имеет в точке локальный минимум. 2) Если знаки миноров чередуются, причем , то – точка локального максимума.

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию

.

Решение. Находим частные производные первого порядка: Находим стационарные точки:

Имеем две стационарные точки и . Чтобы исследовать эти точ-ки, вычисляем производные второго порядка:

Составим из этих производных определитель:

.

В точке : следовательно, в точке нет экстре-мума. В точке : следовательно, в точке функция имеет экстремум; так как то этот экстремум – минимум.

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию трех переменных

.

Решение. и

Имеем две стационарные точки: и . Далее:

, ,

, , .

Вычислим эти производные в точке и составим матрицу

.

Найдем главные миноры:

Все главные миноры положительные, значит – точка минимума.

В точке матрица вторых проиводных имеет вид

Минор Это означает, что требуется дополнительное исследование. В точ-ке функция равна В то же время, при изменении аргументов функции вдоль прямой

функция имеет вид и в сколь угодно малой окрестности точки принимает как положительные, так и отрицательные значения. Следо-вательно, в этой точке нет экстремума.

 

 


Дата добавления: 2015-07-24; просмотров: 102 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Определение функции нескольких переменных | Предел функции нескольких переменных. Непрерывность | Частные производные | Дифференцируемость и полный дифференциал | Производные сложных функций | Сущестование и дифференцируемость неявной функции | Касательная к кривой в пространстве | Касательная плоскость к поверхности | Производная по направлению. Градиент | Метод наименьших квадратов |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Производные высших порядков| Наибольшее и наименьшее значения функции в области

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.011 сек.)