Частные производные

Пусть функция z (x, y) определена в некоторой окрестности точки . Придадим переменной x приращение , т.е. перейдем от точки к точке . При этом таково, что лежит в указанной окрестности точки . Тогда соответствующее приращения функции

называется частным приращением функции z (x, y) в точке .

Аналогично определяется частное приращение функции по переменной :

.

Определение. Предел вида называется частной производной функции z (x, y) в точке по переменной и обозначается одним из символов:

.

Аналогично определяется и частная производная по переменной :

.

Из определения следует, что частная производная функции двух переменных по переменной представляет собой обычную производную функции одной переменной f (x) = z (x, y ₀). Поэтому частные производные вычисляются по формулам и правилам вычисления производных функций одной переменной.

Примеры.

1.

2.

Замечание. График функции z = z (x, y) есть некоторая поверхность в пространстве. Тогда

–

это некоторая кривая (плоская) в пространстве и есть не что иное, как угловой коэффициент касательной к L в точке ().

Дата добавления: 2015-07-24