Приклади спряжених просторів (до просторів та ).

Розглянемо простір С⁰ збіжних до нуля послідовностей з нормою і покажемо, що простір, спряжений до нього , ізоморфний простору всіх абсолютно сумованих послідовностей з нормою .

Будь-яка послідовність визначає в просторі С⁰ лінійний обмежений функціонал за формулою ***; ясно, що

.

Розглянемо в С⁰ вектори

……………………….

………………………..

і покладемо , (якщо f_n=0, то вважаємо, що ).

Тоді ,

так що .

Звідси, ; порівнявши це з доведеною раніше протилежною рівністю, маємо, що .

Таким чином, ми зробили лінійне ізометричне відображення простору в простір С^0*; перевіримо, що образ простору при цьому відображенні співпадає з у усім С^0*, тобто всякий функціонал подається у вигляді *** де . Для всякого маємо , причому ряд, що стоїть праворуч, збігається до x в С⁰, бо

. Оскільки функціонал .

Взявши , із того, що маємо , звідки в силу довільності N говоримо, що .

Простір Нехай p>1, і – простір всіх послідовностей , для деяких

; можна довести, що спряжений до нього простір ізоморфний простору , . Загальний вигляд лінійного неперервного функціоналу на ; , . При доведенні застосовується нерівність Гельдера.

Дата добавления: 2015-07-20