Теорема про оператор .

Пусть – банахово пространство, – тождественный оператор в , а – такой ограниченный линейный оператор, отображающий в себя, что . Тогда оператор существует, ограничен и представляется в виде .

Доказательство.

Существование и ограниченность оператора вытекает из следующих рассуждений: т.к. , то . Пространство полно, поэтому из сходимости ряда вытекает, что сумма ряда представляет собой ограниченный линейный оператор.

Для любого n имеем

Переходя к пределу при и учитывая, что , получаем

Откуда

Что и требовалось доказать.

29.Лінійні функціонали. Означення. Норми. Приклади.

Оператор f переводящий данное линейное пространство Е в числовую прямую называется функционалом. f называется однородным если f(αx)=αf(x) для любого х є Е, для любого α.

f называется аддитивным, если: f(x+y)=f(x)+f(y) для любого х, у из Е.

Аддитивный и однородный функционал называется линейным. Функционал называется линейным, если f(αx+βy)=αf(x)+βf(y) для любого х,у из Е и α,β.

Т.к. функционал – это частный случай оператора, то на функционалы распространяются все утверждения и теоремы, которые были получены для оператора.

Пусть Е – это нормированное пространство, тогда справедлива теорема:

Для того, чтобы линейный функционал определённый на линейном нормированном пр-ве Е был непрерывным необходимо и достаточно, чтобы он был ограничен, т.е. существовала такая const M, чтобы: |f(x)|≤M*||x|| (1), для любого х из Е.

Наименьшая из констант М, удовлетворяющая неравенству (1) называется нормой функционала - ||f||. Для нормы справедливы следующие равенства:
||f|| = sup |f(x)|/||x|| (под sup x≠0) = sup |f(x)| (под sup ||x||≤1)

Примеры линейных функционалов в нормированных пространствах:

1. Пусть Е – это Rⁿ – арифметическое эвклидово пространство и a – фиксированный вектор в Rⁿ, тогда f(x)=(х, а) – скалярное произведение х на а для любого х из Rⁿ. Этот f является линейным, линейность следует из свойств

|f(x)|≤||x||*||a|| => |f(x)|/||x||≤||a||, x≠0 => ||f(x)||=sup |f(x)|/||x||≤a => ||f||≤||a|| (1)

Пусть х=а, тогда f(a)=(a,a)=||a||² =>||f||≥||a|| (2). Из (1) и (2) следует ||f||=||a||.

2. Расмотрим пр-во С[a,b] – пр-во непрерывных функций и определим функционал
I(x) = Этот функционал является линейным и ограниченным.

Покажем это:

3.С[a,b] y₀(t)=фиксированная непрерывная функция. . Этот F(x) – линейный. Проверим, ограниченный ли он

4. С[a,b] функционал

δ(t) – функция Диракса, которая равна всюду, кроме т. t=0

5. Любое Эвклидово пространство

Х – эвклидово пространство, а є Х. F(x) = (x,a) – линейный ограниченный функционал, а значит непрерывный ||F||=||a||. Доказательство аналогично перовму!

Дата добавления: 2015-07-20