Линейные пространства

Непустое множество L элементов x, y, z… называется линейным пространством, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1. которое называется их суммой и обозначается , причем выполняются следующие условия:

1)

2)

3)

4)

2. и определен , который называется произведением элемента на число , причем выполняется:

1)

2)

3)

4)

Примеры линейных пространств.

1. с обычными операциями «+» и «*» представляет собой линейное пространство.

2. является линейным пространством, оно определяется как упорядоченные наборы действительных чисел , где ,

, если рассматривать множество упорядоченных наборов комплексных чисел с теми-же операциями, то получим мерное комплексное пространство.

3. Непрерывные (действительные или комплексные) функции на некотором отрезке с обычными операциями сложения и умножения их на числа образуют линейное пространство .

4. Пространство , элементами которого служат последовательности чисел (действительных или комплексных), для которых выполняется условие с операциями

(1)

(2)

Является линейным пространством.

5. Сходящиеся последовательности с операциями сложения и умножения на числа (1), (2) образует линейное пространство С.

6. Последовательности, сходящиеся к нулю с операциями сложения и умножения на число (1), (2) образуют линейное пространство .

7. m (пространство ограниченных последовательностей) с теми же операциями (1), (2) образует линейное пространство.

8. Множество всех числовых последовательностей с операциями (1), (2) образует линейное пространство .
14. Линейная зависимость. Мерность пространства. Базис. Линейные многообразия.

Элементы линейного пространства R называют линейно зависимыми, если не все равные нулю, а линейная комбинация .

называют линейно независимыми если из следует, что .

Бесконечная система элементов x, y, … линейного пространства L называется линейно независимой, если любая конечная подсистема этих элементов линейно независима.

Линейное пространство L имеет размерность n, если в нем система из n линейно независимых элементов, а любая система из элемента линейно зависима.

Если в L можно указать систему из произвольного конечного числа линейно независимых элементов, то говорят, что пространство L бесконечномерно.

Базисом в n-мерном пространстве L называется любая система из n линейно независимых элементов.

Примеры:

конечномерны.

бесконечномерны.

Линейные многообразия.

Непустое множество называется линейным многообразием, если

Любое линейное пространство имеет два линейных многообразия и само пространство L.

Примеры

1.Пусть есть некоторое линейное пространство L, есть элемент , тогда является линейным многообразием, – пробегает все числа (действительные или комплексные)

2. В рассмотрим множество всех многочленов - это множество будет линейным многообразием. И само множество является линейным многообразием пространства всех непрерывных и разнывных функций на отрезке .

3. каждое из них является линейным многообразием в следующем пространстве.

Пусть – произвольное непустое множество элементов линейного пространства L, тогда в L наименьшее линейное многообразие (которое может совпадать с L), которое содержит систему .

Наименьшее линейное многообразие, содержащее систему называется линейным многообразием порожденным системой или линейной оболочкой множества .

Дата добавления: 2015-07-20