Нормированные пространства. Сходимость по норме. Примеры. Подпространства.

Пусть L – линейное пространство. Нормой в L называют функционал P(x), удовлетворяющий следующим условиям:

.

Линейное пространство L, в котором задана некоторая норма называют нормированным пространством. P(x)= ||x||.

.

В нормированном пространстве можно ввести расстояние.

, функция введенная таким образом является метрикой, и пространство L становится метрическим пространством.

В нормированном пространстве можно ввести понятие сходимости по норме.

последовательность элементов из нормированного пространства L, говорят что сходится к х по норме пространства L т.е. .

Примеры линейных нормированных пространств.

, если .

В , где элемент ,… можно ввести следующие нормы:

а) б) в) .

В .

В пространстве m .

Рассмотрим пространство непрерывных функций x(t) определенных на [0,1] и имеющих на этом отрезке непрерывные производные до k-го порядка включительно,

Получим пространство - банахово пространство.

Замкнутое линейное многообразие в нормированном пространстве L называют подпространством. В конечномерном нормированном пространстве всякое линейное многообразие является подпространством (в бесконечномерном случае это не так).

Наименьшее замкнутое подпространство содержащее систему будет называться подпространством порожденным данной системой элементов .

Система элементов лежащая в нормированном пространстве L называется полной, если линейное замыкание системы есть все пространство L.

16. Евклідові простори. Норма в евклідовому просторі.
Лінійний простір з фіксованим у ньому скалярним добутком називається евклідовим простором.
Скалярним добутком у дійсному лінійному просторі є дійсна функція (x,y), визначена для кожної пари елементів (x,y) є R і яка задовольняє таким умовам:
1)(x,y)=(y,x)
2
3)
4 , причому тільки при
У евклідовім просторі вводится норма за допомогою формули
17. Ортогональні системи. Приклади евклідових просторів та ортогональних базисів у них.
Система ненульових векторів з R називається ортогональною, якщо при . Якщо вектори ортогональні, то вони лінійно незалежні.
Дійсно, нехай ; оскільки - ортогональна система, маємо , але і звідси для всіх
Приклади:
1. n-вимірний арифметичний простір , елементами якого є системи дійсних чисел зі звичайними операціями додавання і множення на число і скалярним добутком , являє собою приклад евклідового простору. Ортогональний нормований базис у ньому утворюють вектори:

….....................

2. Простір з елементами , де , і скалярним добутком - евклідів простір. Найпростіший ортогональний базис:

3. Простір , що складається з неперервних дійсних функцій на [a,b], зі скалярним добутком - евклідів простір . Ортогональний базис, що складається з тригоном. функцій:

18. Гілбертові простори. Ізоморфізм.
Повний евклідів простір нескінченного числа векторів називаєтся гільбертовим простором. Таким чином, гільбертовим простором називають сукупність Н елементів f,g,..., довільної природи, що задовольняють таким умовам:
1) Н - евклідів простір
2) Простір Н повний по метриці
3) Простір Н - нескінченновимірний, тобто в ньому для будь-якого n лінійно незалежних елементів.
4) Н - сепарабельний, тобто в ньому існує зліченна всюди щільна множина.
Два евклідові простори R і R*називаються ізоморфними, якщо між їх елементами можна встановити взаємо однозначну відповідальність так, що .
Інакше, ізоморфізм евклідових просторів - це взаємно однозначна відповідність, що зберігає як лінійні операції, визначені в цих просторах, так і скалярний добуток.

19. Теорема про ортогоналізацію.
Т. Нехай f₁,…,f_n,… (1) - лінійно незалежна система елементів в евклідовім просторі R. Тоді в R існує система елементів ϕ₁,…,ϕ_n,… (2), що задовольняє таким умовам:
1. Система (2) ортогональна і нормована;
2. Кожний елемент ϕ_n являє собою лінійну комбінацію елементів
f₁,…,f_n: ϕ_n=a_n1f₁+…+a_nnf_n, причому a_nn ≠0;
3. Кожен елемент f_n можна подати у вигляді f_n =b_n1 ϕ₁ +…+ b_nn ϕ_n, причому
b_nn ≠0.
Доведення: Елемент ϕ₁ знаходимо у вигляді ϕ₁ =a₁₁ f₁ ; при цьому a₁₁ визначається з умови (ϕ₁ , ϕ₁)=a₁₁² (f₁ , f₁)=1, звідки a₁₁ =1\b₁₁ =±1\ .
Ясно, що ϕ₁ визначається однозначно (з точністю до знака).
Нехай елементи ϕ_k (k<n), що задовольняють умовам 1-3, вже побудовані. Тоді f_n можно подати у вигляді f_n = b_n1 ϕ₁ +…+ b_nn-1 ϕ_n-1 +h_n, де (h_n, ϕ_k)=0
при k<n. Дійсно, відповідні коефіцієнти b_nk, а значить, і елемент h_n однозначно визначаються з умов:
(h_n, ϕ_k)=(f_n - b_n1 ϕ₁-…- b_nn-1 ϕ_n-1, ϕ_k)=(f_n, ϕ_k)- b_nk(ϕ_k, ϕ_k)=0. Очевидно, що
(h_n, h_n)˃0, припущення (h_n, h_n)=0 було б супротивним лінійній незалежності системи (1).
Візьмемо ϕ_n = h_n \ . З індуктивної побудови ясно, що h_n, а звідси, і
ϕ_n виражаються через f₁,…,f_n,тобто ϕ_n = a_n1f₁+…+a_nnf_n, де a_nn = 1\ ≠0.
Крім того, (ϕ_n, ϕ_n)=1, (ϕ_n, ϕ_k)=0 (k<n) і f_n =b_n1 ϕ₁ +…+ b_nn ϕ_n (b_nn= ), тобто ϕ_n задовольняє умовам теореми. Перехід від системи (1) до системи, що задовольняє умовам 1-3 називається процесом ортогоналізації. Підпростори породжені системами (1) і (2), співпадають між собою, звідси ці системи повні, але не повні одночасно.

20. Теорема Риса – Фішера. Теорема про повноту ортогональної нормованої системи в повному сепарабельному евклідовому просторі.
Т. (Риса-Фішера) Нехай {ϕ_n} – довільна ортогональна нормована система у повному евклідовому просторі R, і нехай числа с₁ , …,с_n, … такі, що ряд
(3) збіжний. Тоді існує такий елемент fєR, що с_k =(f, ϕ_k) і =(f,f)=||f||².
Доведення: Нехай f_n= . Тоді
= = .
Оскільки ряд (3) збіжний, то звідси в силу повноти R випливає збіжність послідовності {f_n} деякого елемента fЄR. Далі (f,ϕ_i)=(f_n,ϕ_i)+(f-f_n,ϕ_i) (4), причому праворуч перший доданок при n≥I дорівнює с_і , а другий прямує до нуля при
n→∞, бо |(f-f_n, ϕ_i)|≤ .
Ліва частина рівності (4) від n не залежить; тому, перейшовши в ньому до границі при n→∞, одержимо, що (f,ϕ_i)=c_i. Оскільки, за означенням f, →0 при n→∞, то
→0 при n→∞.
Теорема. Для того, щоб ортогональна нормована система {ϕ_n} в повному сепарабельному евклідовім просторі була повна, необхідно і достатньо, щоб в R не існувало ненульового елемента ортогонального всім елементам системи {ϕ_n}.
Доведення Нехай система {ϕ_n} повна, і, звідси, замкнена. Якщо f ортогональний всім елементам системи {ϕ_n}, то всі його коефіцієнти Фур’є рівні нулю. Тоді з рівності Парсеваля одержимо
(f,f)= Обернено, нехай система {ϕ_n} не повна. Тоді в R існує такий елемент g≠0, що (g,g)˃ (де с_k=(g,ϕ_k)).На основі теоремі Рісса-Фішера існує такий елемент fЄR, що (f,ϕ_k)=c_k і (f,f)= .
Елемент (f-g) – ортогональний всім ϕ_і . З нерівності (f,f)= витікає, що (f-g) ≠0.

21. Лінійні оператори. Означення та приклади (не включаючи оператора диференціювання).
Нехай Е і Е₁ два лінійні простори. Лінійним оператором, що діє з Е в Е_1, називається відображення у=Ах (хєЕ, уєЕ₁), що задовольняє умові
А(αх₁+βх₂)= Аαх₁+Аβх₂. Сукупність D_A всіх таких хєА, для яких відображення А визначене, називається областю визначення оператора А.
Оператор А називається неперервним в точці х₀ є D_A, якщо для будь-якого околу V точки y₀ =Ax₀ існує такий окіл U точки х₀, що АхЄV, як тільки хє UᴖD.
Оператор А називається неперервним, якщо він неперервний в кожній точці х є D_A.
Множина тих хєЕ, для яких Ах=0, називається ядром лінійного оператора А і позначається Кеr A. Множина тих уєЕ₁, для яких у=Ах, при деякому х є D_A, називається образом лінійного оператора А і позначається Im A. Ядро і образ лінійного оператора є лінійною многостатністю.
приклади
1. Нехай Е – лінійний простір. Покладемо Іх=х для всіх хєЕ. Це одиничний оператор, що переводить будь-який елемент у себе.
2. Нехай Е і Е₁ довільні лінійні простори, і нехай Ох=х для всіх хєЕ (де О – це нульовий елемент простору Е₁), тоді О називається нульовим оператором.
3. Загальний вигляд лінійного оператора, що переводить скінченновимірний простір у скінченновимірний. Нехай А – лінійний оператор, відображаючий
n-вимірний простір Rⁿ з базисом е₁, …,е_n в m-вимірний простір R^m з базисом
f₁,…,f_m. Якщо х – довільний вектор з Rⁿ, то х= і в силу лінійності оператора А Ах= . Таким чином, оператор А задано, якщо відомо, у що він переводить базисні вектори е₁,…,е. Розглянемо розклад векторів Ае₁ за базисом f₁,…,f_m. Маємо Ае_і= . Звідси видно, що оператор А визначається матрицею коефіцієнтів Rⁿ в R^m являє собою лінійний підпростір, розмірність якого рівна, очевидно, рангу матриці , тобто, в усякому випадку, не більше за n. Всякий лінійний оператор, що задано в скінченновимірному просторі – неперервний.
4. Розглянемо гільбертів простір Н і в ньому деякий підпростір Н₁. Розклавши Н в пряму суму підпростору Н₁ і його ортогонального доповнення, тобто подавши кожен елемент hєН у вигляді h=h₁+h₂ (h₁єН₁, h₂ H₁), покладемо Рh=h₁. Це оператор ортогонального проектування або ортопроектор Н на Н₁. Він лінійний і неперервний.
5. Розглянемо в просторі неперервних функцій на відрізку [a,b] оператор, що визначається формулою ψ(s)= , де – деяка фіксована неперервна функція двох змінних. Функція ψ(s) для будь-якої неперервної функції така, що оператор (5) дійсно переводить простір неперервних функцій у себе, він лінійний.
6. У просторі неперервних функцій розглянемо оператор ψ(t)=ϕ₀(t)ϕ(t), де ϕ₀(t) – фіксована функція. Він лінійний і неперервний.
22. Лінійні оператори. Означення. Оператор диференціювання.

Пусть Е, линейные метрические пространства. Линейным оператором, действующим из Е в называется отображение у=Ах (хєЕ, ує ). Такое, что , т.е.

1) А- аддитивен

2)А – однороден или просто линеен

В общем случае считается, что оператор А оператор А определен не на всем пространстве Е.

Совокупность тех хєЕ для которых отображение определено называется областью определения .

- линейное многообразие

Множество тех у из для которых у=Ах хє называются областью значения оператора А или образом линейного оператора ImA.

Оператор А называется непрерывным в точке если точки что .

Оператор А называется непрерывным, если он непрерывен в каждой точке

Пусть Е, - нормированные пространства. Оператор А: Е называется непрерывным, если .

Оператор А непрерывен в точке если : .

Оператор А непрерывен в точке если т.е. .

Множество тех хєЕ для которых Ах=0 называется ядром линейного оператора А и обозначается .

Если и оператор А непрерывен, то ядро оператора А является подпространством, т.е. замкнутым.

Линейный оператор, переводящий данное пространство Е в числовую прямую называется линейным функционалом .

Оператор дифференцирования

1)

Оператор определен не на всем пространстве C[a,b], а определен только на линейном многообразии функций, имеющих непрерывную производную.

Оператор D линейный, но не является непрерывным . 2)

Тогда оператор А будет и линейным и непрерывным.

3) Оператор А:

- пространство непрерывных функций бесконечно дифференцируемых на [a,b].

n=1,2… А непрерывен в этой норме.

- линейный

А в .

Дата добавления: 2015-07-20