Читайте также:
|
|
Пусть L – линейное пространство. Нормой в L называют функционал P(x), удовлетворяющий следующим условиям:
.
Линейное пространство L, в котором задана некоторая норма называют нормированным пространством. P(x)= ||x||.
.
В нормированном пространстве можно ввести расстояние.
, функция введенная таким образом является метрикой, и пространство L становится метрическим пространством.
В нормированном пространстве можно ввести понятие сходимости по норме.
последовательность элементов из нормированного пространства L, говорят что сходится к х по норме пространства L т.е. .
Примеры линейных нормированных пространств.
, если .
В , где элемент ,… можно ввести следующие нормы:
а) б) в) .
В .
В пространстве m .
Рассмотрим пространство непрерывных функций x(t) определенных на [0,1] и имеющих на этом отрезке непрерывные производные до k-го порядка включительно,
Получим пространство - банахово пространство.
Замкнутое линейное многообразие в нормированном пространстве L называют подпространством. В конечномерном нормированном пространстве всякое линейное многообразие является подпространством (в бесконечномерном случае это не так).
Наименьшее замкнутое подпространство содержащее систему будет называться подпространством порожденным данной системой элементов .
Система элементов лежащая в нормированном пространстве L называется полной, если линейное замыкание системы есть все пространство L.
16. Евклідові простори. Норма в евклідовому просторі.
Лінійний простір з фіксованим у ньому скалярним добутком називається евклідовим простором.
Скалярним добутком у дійсному лінійному просторі є дійсна функція (x,y), визначена для кожної пари елементів (x,y) є R і яка задовольняє таким умовам:
1)(x,y)=(y,x)
2
3)
4 , причому тільки при
У евклідовім просторі вводится норма за допомогою формули
17. Ортогональні системи. Приклади евклідових просторів та ортогональних базисів у них.
Система ненульових векторів з R називається ортогональною, якщо при . Якщо вектори ортогональні, то вони лінійно незалежні.
Дійсно, нехай ; оскільки - ортогональна система, маємо , але і звідси для всіх
Приклади:
1. n-вимірний арифметичний простір , елементами якого є системи дійсних чисел зі звичайними операціями додавання і множення на число і скалярним добутком , являє собою приклад евклідового простору. Ортогональний нормований базис у ньому утворюють вектори:
….....................
2. Простір з елементами , де , і скалярним добутком - евклідів простір. Найпростіший ортогональний базис:
3. Простір , що складається з неперервних дійсних функцій на [a,b], зі скалярним добутком - евклідів простір . Ортогональний базис, що складається з тригоном. функцій:
18. Гілбертові простори. Ізоморфізм.
Повний евклідів простір нескінченного числа векторів називаєтся гільбертовим простором. Таким чином, гільбертовим простором називають сукупність Н елементів f,g,..., довільної природи, що задовольняють таким умовам:
1) Н - евклідів простір
2) Простір Н повний по метриці
3) Простір Н - нескінченновимірний, тобто в ньому для будь-якого n лінійно незалежних елементів.
4) Н - сепарабельний, тобто в ньому існує зліченна всюди щільна множина.
Два евклідові простори R і R*називаються ізоморфними, якщо між їх елементами можна встановити взаємо однозначну відповідальність так, що .
Інакше, ізоморфізм евклідових просторів - це взаємно однозначна відповідність, що зберігає як лінійні операції, визначені в цих просторах, так і скалярний добуток.
19. Теорема про ортогоналізацію.
Т. Нехай f1,…,fn,… (1) - лінійно незалежна система елементів в евклідовім просторі R. Тоді в R існує система елементів ϕ1,…,ϕn,… (2), що задовольняє таким умовам:
1. Система (2) ортогональна і нормована;
2. Кожний елемент ϕn являє собою лінійну комбінацію елементів
f1,…,fn: ϕn=an1f1+…+annfn, причому ann ≠0;
3. Кожен елемент fn можна подати у вигляді fn =bn1 ϕ1 +…+ bnn ϕn, причому
bnn ≠0.
Доведення: Елемент ϕ1 знаходимо у вигляді ϕ1 =a11 f1 ; при цьому a11 визначається з умови (ϕ1 , ϕ1)=a112 (f1 , f1)=1, звідки a11 =1\b11 =±1\ .
Ясно, що ϕ1 визначається однозначно (з точністю до знака).
Нехай елементи ϕk (k<n), що задовольняють умовам 1-3, вже побудовані. Тоді fn можно подати у вигляді fn = bn1 ϕ1 +…+ bnn-1 ϕn-1 +hn, де (hn, ϕk)=0
при k<n. Дійсно, відповідні коефіцієнти bnk, а значить, і елемент hn однозначно визначаються з умов:
(hn, ϕk)=(fn - bn1 ϕ1-…- bnn-1 ϕn-1, ϕk)=(fn, ϕk)- bnk(ϕk, ϕk)=0. Очевидно, що
(hn, hn)˃0, припущення (hn, hn)=0 було б супротивним лінійній незалежності системи (1).
Візьмемо ϕn = hn \ . З індуктивної побудови ясно, що hn, а звідси, і
ϕn виражаються через f1,…,fn,тобто ϕn = an1f1+…+annfn, де ann = 1\ ≠0.
Крім того, (ϕn, ϕn)=1, (ϕn, ϕk)=0 (k<n) і fn =bn1 ϕ1 +…+ bnn ϕn (bnn= ), тобто ϕn задовольняє умовам теореми. Перехід від системи (1) до системи, що задовольняє умовам 1-3 називається процесом ортогоналізації. Підпростори породжені системами (1) і (2), співпадають між собою, звідси ці системи повні, але не повні одночасно.
20. Теорема Риса – Фішера. Теорема про повноту ортогональної нормованої системи в повному сепарабельному евклідовому просторі.
Т. (Риса-Фішера) Нехай {ϕn} – довільна ортогональна нормована система у повному евклідовому просторі R, і нехай числа с1 , …,сn, … такі, що ряд
(3) збіжний. Тоді існує такий елемент fєR, що сk =(f, ϕk) і =(f,f)=||f||2.
Доведення: Нехай fn= . Тоді
= = .
Оскільки ряд (3) збіжний, то звідси в силу повноти R випливає збіжність послідовності {fn} деякого елемента fЄR. Далі (f,ϕi)=(fn,ϕi)+(f-fn,ϕi) (4), причому праворуч перший доданок при n≥I дорівнює сі , а другий прямує до нуля при
n→∞, бо |(f-fn, ϕi)|≤ .
Ліва частина рівності (4) від n не залежить; тому, перейшовши в ньому до границі при n→∞, одержимо, що (f,ϕi)=ci. Оскільки, за означенням f, →0 при n→∞, то
→0 при n→∞.
Теорема. Для того, щоб ортогональна нормована система {ϕn} в повному сепарабельному евклідовім просторі була повна, необхідно і достатньо, щоб в R не існувало ненульового елемента ортогонального всім елементам системи {ϕn}.
Доведення Нехай система {ϕn} повна, і, звідси, замкнена. Якщо f ортогональний всім елементам системи {ϕn}, то всі його коефіцієнти Фур’є рівні нулю. Тоді з рівності Парсеваля одержимо
(f,f)= Обернено, нехай система {ϕn} не повна. Тоді в R існує такий елемент g≠0, що (g,g)˃ (де сk=(g,ϕk)).На основі теоремі Рісса-Фішера існує такий елемент fЄR, що (f,ϕk)=ck і (f,f)= .
Елемент (f-g) – ортогональний всім ϕі . З нерівності (f,f)= витікає, що (f-g) ≠0.
21. Лінійні оператори. Означення та приклади (не включаючи оператора диференціювання).
Нехай Е і Е1 два лінійні простори. Лінійним оператором, що діє з Е в Е1, називається відображення у=Ах (хєЕ, уєЕ1), що задовольняє умові
А(αх1+βх2)= Аαх1+Аβх2. Сукупність DA всіх таких хєА, для яких відображення А визначене, називається областю визначення оператора А.
Оператор А називається неперервним в точці х0 є DA, якщо для будь-якого околу V точки y0 =Ax0 існує такий окіл U точки х0, що АхЄV, як тільки хє UᴖD.
Оператор А називається неперервним, якщо він неперервний в кожній точці х є DA.
Множина тих хєЕ, для яких Ах=0, називається ядром лінійного оператора А і позначається Кеr A. Множина тих уєЕ1, для яких у=Ах, при деякому х є DA, називається образом лінійного оператора А і позначається Im A. Ядро і образ лінійного оператора є лінійною многостатністю.
приклади
1. Нехай Е – лінійний простір. Покладемо Іх=х для всіх хєЕ. Це одиничний оператор, що переводить будь-який елемент у себе.
2. Нехай Е і Е1 довільні лінійні простори, і нехай Ох=х для всіх хєЕ (де О – це нульовий елемент простору Е1), тоді О називається нульовим оператором.
3. Загальний вигляд лінійного оператора, що переводить скінченновимірний простір у скінченновимірний. Нехай А – лінійний оператор, відображаючий
n-вимірний простір Rn з базисом е1, …,еn в m-вимірний простір Rm з базисом
f1,…,fm. Якщо х – довільний вектор з Rn, то х= і в силу лінійності оператора А Ах= . Таким чином, оператор А задано, якщо відомо, у що він переводить базисні вектори е1,…,е. Розглянемо розклад векторів Ае1 за базисом f1,…,fm. Маємо Аеі= . Звідси видно, що оператор А визначається матрицею коефіцієнтів Rn в Rm являє собою лінійний підпростір, розмірність якого рівна, очевидно, рангу матриці , тобто, в усякому випадку, не більше за n. Всякий лінійний оператор, що задано в скінченновимірному просторі – неперервний.
4. Розглянемо гільбертів простір Н і в ньому деякий підпростір Н1. Розклавши Н в пряму суму підпростору Н1 і його ортогонального доповнення, тобто подавши кожен елемент hєН у вигляді h=h1+h2 (h1єН1, h2 H1), покладемо Рh=h1. Це оператор ортогонального проектування або ортопроектор Н на Н1. Він лінійний і неперервний.
5. Розглянемо в просторі неперервних функцій на відрізку [a,b] оператор, що визначається формулою ψ(s)= , де – деяка фіксована неперервна функція двох змінних. Функція ψ(s) для будь-якої неперервної функції така, що оператор (5) дійсно переводить простір неперервних функцій у себе, він лінійний.
6. У просторі неперервних функцій розглянемо оператор ψ(t)=ϕ0(t)ϕ(t), де ϕ0(t) – фіксована функція. Він лінійний і неперервний.
22. Лінійні оператори. Означення. Оператор диференціювання.
Пусть Е, линейные метрические пространства. Линейным оператором, действующим из Е в называется отображение у=Ах (хєЕ, ує ). Такое, что , т.е.
1) А- аддитивен
2)А – однороден или просто линеен
В общем случае считается, что оператор А оператор А определен не на всем пространстве Е.
Совокупность тех хєЕ для которых отображение определено называется областью определения .
- линейное многообразие
Множество тех у из для которых у=Ах хє называются областью значения оператора А или образом линейного оператора ImA.
Оператор А называется непрерывным в точке если точки что .
Оператор А называется непрерывным, если он непрерывен в каждой точке
Пусть Е, - нормированные пространства. Оператор А: Е называется непрерывным, если .
Оператор А непрерывен в точке если : .
Оператор А непрерывен в точке если т.е. .
Множество тех хєЕ для которых Ах=0 называется ядром линейного оператора А и обозначается .
Если и оператор А непрерывен, то ядро оператора А является подпространством, т.е. замкнутым.
Линейный оператор, переводящий данное пространство Е в числовую прямую называется линейным функционалом .
Оператор дифференцирования
1)
Оператор определен не на всем пространстве C[a,b], а определен только на линейном многообразии функций, имеющих непрерывную производную.
Оператор D линейный, но не является непрерывным . 2)
Тогда оператор А будет и линейным и непрерывным.
3) Оператор А:
- пространство непрерывных функций бесконечно дифференцируемых на [a,b].
n=1,2… А непрерывен в этой норме.
- линейный
А в .
Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 214 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Линейные пространства | | | Простори операторів. |