Критерій компактності в метричних просторах.

Теорема:

Для того, что бы метрическое пр.-во R было кампактом необходимо и достаточно:

R – вполне ограниченное

R – полное

Док-во:

Необходимость. Докажем необходимость от противного

Пусть R – не вполне ограниченное, тогда существует -сеть, кот не конечная. , иначе было бы конечной сетью.

, иначе образововали бы конечную сеть.

Пусть элементы уже построены, тогда

Иначе образововали бы конечную сеть.

Таким образом , тогда эта послед не имеет ни одной сход. подпослед, что противорчит компактности R.

Пусть R- не явл. полным, т.е. пусть - некоторая фундаментальная последовательность, кот не имеет lim R, отсюда следует, что любая её подпослед тоже не будет иметь limR, что портиворечит компактности R.

Теорема Хаусдорфа:

Для того, что бы мн-во М в полном метрическом пространстве R было предкомпактным необходимо и достаточно, что бы оно было вполне ограниченным.

Теорема:

Пусть Х и У – метрические пространства АсХ и ф-я f: A->У непрерывна на А, тогда, если А компакт, то f(A) тож компакт.

Дата добавления: 2015-07-20