Теорема про вкладені кулі. Теорема Бєра

Теорема 2 (о вложенных шарах). Для того, чтобы метрическое пространство было полным необходимо и достаточно, чтобы в нём всякая последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю, имела непустое пересечение.

Необходимость.

Рассмотрим полное метрическое пространство и последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров с центрами и радиусами : .

Последовательность центров является фундаментальной, так как

,и .

Так как пространство является полным, то последовательность сходится и .

Шар содержит все точки последовательность кроме, быть может, точек , а следовательно — точка прикосновения любого из шаров , так как шары предполагаются замкнутыми, отсюда следует, что .

По определению пересечения множеств .

Таким образом, пересечение шаров действительно не является пустым множеством.

Достаточность.

Пусть — фундаментальная последовательность, тогда можно указать такой номер , что для будет выполняться неравенство .

Обозначим .

Следующий номер выберем таким образом, чтобы при выполнялось неравенство .

Обозначим .

Пусть мы уже выбрали номера .

Номер выберем так, чтобы при выполнялось неравенство ,

Обозначим .

Продолжая этот процесс, мы получим последовательность замкнутых вложенных шаров, по предположению теоремы эта последовательность имеет общую точку, обозначим эту точку как . Очевидно, что эта точка служит пределом последовательности . Фундаментальная последовательность, содержащая сходящуюся подпоследовательность, сходится к тому же пределу, следовательно .

Так как последовательность взята произвольно, то метрическое пространство является полным.

Теорема Бэрра. Полное метрическое пространство не может быть представлено в виде объединения счётного числа нигде не плотных множеств.

Доказательство проведём от противного.

Пусть , причём каждое из множеств нигде не плотно. Рассмотрим некоторый замкнутый шар радиуса 1, так как множество нигде не плотно, то оно не плотно и в шаре , то есть существует шар , радиус которого меньше , такой, что .

Множество не плотно в шаре , значит существует шар , радиус которого меньше , для которого

,

и так далее. Таким образом можно получить последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров ,

радиусы которых стремятся к нулю, причём .

По теореме о вложенных шарах пересечение

содержит некоторую точку , которая не принадлежит ни одному из , так как ,

а значит точка не принадлежит и объединению всех

,то есть , что противоречит исходному предположению. Теорема доказана.

Дата добавления: 2015-07-20