Просторова система сил

ЛЕКЦІЯ 8

Тема Центр тяжіння

Зміст

1Сила тяжіння

2 Точка додатку сили тяжіння

3 Центр тяжіння однорідних плоских тіл (плоских фігур)

4 Визначення координат центру тяжіння плоских фігур

Мати уявлення про систему паралельних сил і центр системи паралельних сил, про силу тяжіння і центр тяжіння.

Знати методи для визначення центру тяжіння тіла і формули для визначення положення центру тяжіння плоских фігур.

Уміти визначати положення центру тяжіння простих геометричних фігур, складених із стандартних профілів.

1 Сила тяжіння

Сила тяжіння — рівнодіюча сил тяжіння до Землі, вона розподілена за всім обсягом тіла. Сили тяжіння, прикладені до частинок твердого тіла, утворюють систему сил, лінії дії яких сходяться в центрі Землі (рис. 8.1). Оскільки радіус Землі значно більше розмірів будь-якого земного тіла, сили тяжіння можна вважати паралельними.

2 Точка додатку сили тяжіння

Для визначення точки додатку сили тяжіння (рівнодіючою паралельних сил) використовуємо теорему Варіньона про момент рівнодіючої:

Момент рівнодіючої відносно осі рівний алгебраїчній сумі моментів сил системи щодо цієї осі.

Зображаємо тіло, складене з деяких частин, в просторовій системі координат (рис. 8.2).

Тіло складається з частин, сили тяжіння яких qk прикладені в центрах тяжіння (ЦТ) цих частин.

Хай рівнодіюча (сила тяжіння всього тіла) прикладена в невідомому поки центрі З.

ХС, ВУС, ZС— координати центру тяжіння З.

Xk, Уk і Zk — координати центрів тяжіння частин тіла.

З теореми Варіньона виходить:

3 Центр тяжіння однорідних плоских тіл

(плоских фігур)

Дуже часто доводиться визначати центр тяжіння різних плоских тіл і геометричних плоских фігур складної форми. Для плоских тіл можна записати: V = Ah, де А — площа фігури, h — її висота.

Тоді після підстановки в записані вище формули отримаємо:

Координати центру тяжіння перетину можна виразити через статичний момент:

Осі, що проходять через центр тяжіння, називаються центральними осями. Статичний момент щодо центральної осі рівний нулю.

4 Визначення координат центру тяжіння плоских фігур

Примітка. Центр тяжіння симетричної фігури знаходиться на осі симетрії.

Центр тяжіння стрижня знаходиться на середині висоти. Положення центрів тяжіння простих геометричних фігур можуть бути розраховані по відомим формулам (рис. 8.3: а) — круг; б) — квадрат, прямокутник; в) — трикутник; г) — півколо).

При вирішенні завдань використовуються наступні методи:

1) метод симетрії: центр тяжіння симетричних фігур знаходиться на осі симетрії;

2) метод розділення: складні перетини розділяємо на декілька
простих частин, положення центрів тяжіння яких легко визначити;

3) метод негативних площ: порожнини (отвори) розглядаються як частина перетину з негативною площею

Приклади вирішення завдань

Приклад 1. Визначити положення центру тяжіння фігури, представленої на рис. 8.4.

Рішення

Приклад 2. Визначити координати центру тяжіння складеного перетину. Перетин складається з листа і прокатних профілів (рис. 8.5).

Примітка. Часто рами зварюють з різних профілів, створюючи необхідну конструкцію. Таким чином, зменшується витрата металу і утворюється конструкція високої міцності.

Для стандартних прокатних профілів власні геометричні характеристики відомі. Вони приводяться у відповідних стандартах.

Рішення

1. Позначимо фігури номерами і випишемо з таблиць необхідні дані:

1 — швелер № 10 (ГОСТ 8240-89); висота h = 100 мм; ширина полиці b = 46 мм; площа перетину А1 = 10,9 см2;

2 — двутавр № 16 (ГОСТ 8239-89); висота 160 мм; ширина полиці 81 мм; площа перетину А2 = 20,2 см2;

3 — лист 5x100; товщина 5 мм; ширина 100 мм; площа перетину Аз = 0,5 • 10 = 5 см2.

2. Координати центрів тяжіння кожної фігури можна визначити по кресленню.

Складений перетин симетричний, тому центр тяжіння знаходиться на осі симетрії і координата Xс = 0.

Контрольні питання і завдання

1. Чому сили тяжіння до Землі, тіла, що діють на крапки, можна прийняти за систему паралельних сил?

2. Запишіть формули для визначення положення центру тяжіння неоднорідних і однорідних тіл, формули для визначення положення центру тяжіння плоских перетинів.

3. Повторите формули для визначення положення центру тяжіння простих геометричних фігур: прямокутника, трикутника, трапеції і половини круга.

4. Що називають статичним моментом площі?

5. Обчислите статичний момент даної фігури щодо осі Ox. h = 30 см; b = 120 см; з = 10 см (мал. 8.6).

6. Визначите координати центру тяжіння заштрихованої фігури (мал. 8.7). Розміри дані в мм.

7. Визначите координату у фігури 1 складеного перетину
(мал. 8.8).

При рішенні скористатися довідковими даними таблиць ГОСТ «Сталь горячекатанная» (див. Додаток 1).

Дата добавления: 2015-07-18