Приложения криволинейного интеграла II рода

1. Случай полного дифференциала

Пусть А и В – произвольные точки области Д, А m В и А n В – два произвольных пути (гладкие кривые), соединяющие эти точки (рис.8.)

Тогда следующие условия равносильны.

1) (условие Грина).

2) (криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования).

3) (интеграл по любому замкнутому пути равен нулю).

4) Pdx+Qdy=dU (выражение Pdx+Qdy представляет собой полный дифференциал некоторой функции U=U(x,y)).

2. Механическое значение криволинейного интеграла II рода

Интеграл вида определяет работу при перемещении единицы массы по кривой L в поле, образованном силой .

3. Площадь области, ограниченной контуром L, может быть вычислена по формуле: .

_______________________

1. Даны точки А(2;2); В(2;0). Вычислить : а) по прямой ОА; б) по дуге параболы ; в) по ломаной ОВА.

2. Даны точки А(3;6); В(3;0); С(0;6). Вычислить криволинейный интеграл , где: а) L – отрезок ОА; б) L – ломаная ОВА; в) L – ломаная ОСА; г) L – дуга ОА параболы ; д) проверить выполняемость условия Грина.

3. Показать, что интеграл не зависит от пути интегрирования и вычислить его.

4. Даны точки А(-2;0) и В((0;2). Вычислить работу силы при перемещении единицы массы: а) по прямой АВ; б) по ломаной АОВ; в) по дуге АВ параболы .

5. Вычислить работу силового поля при перемещении материальной точки вдоль верхней половины эллипса из точки С(а;0) в точку В(- а;0).

6. Показать, что по любому замкнутому контуру равен нулю. Проверить, вычислив интеграл по контуру фигуры, ограниченной линиями у=х ² и у =4.

7. Написать и проверить формулу Грина для интеграла , взятого по контуру треугольника со сторонами х =0, у =0, х+у = а.

8. С помощью криволинейного интеграла определить площадь фигуры, ограниченной астроидой x=acos ³ t, y=asin ³ t.

____________________

Ответы: 1. 2. а) 234; б) 198; в) 270; г) 222; д) условие Грина не выполняется. 3. 100. 4. а) 6; б) 2; в) 22/3. 5. p ab. 7. . 8. .

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Основная

1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике/ Д.Т. Письменный. – 6-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2006.-288с.

2. Минорский, В.П., Сборник задач по высшей математике: учеб.пособ. для втузов/ В.П. Минорский. – М.:Физ.-мат.лит., 2004.

Дополнительная

1. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах/ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Оникс 21 век, Мир и образование, 2005 – 242с.

2. Лунку, К.Н. Сборник задач по высшей математике/ К.Е. Лунку. – М.: Айрис-пресс, 2009 – 592с.

Дата добавления: 2015-07-15