Приложение криволинейного интеграла 1-го рода

1. Если подынтегральная функция равна единице, то криволинейный интеграл равен длине в кривой L, т.е. .

2. Если L=АВ – материальная кривая с плотностью r=r(х,у), то масса этой кривой вычисляется по формуле .

3. Статические моменты материальной кривой L относительно координатных осей О х и О у соответственно равны где r=r(х,у) – плотность кривой.

4. Координаты центра тяжести (центра масс) кривой L .

5. Интегралы

выражают моменты инерции кривой L с линейной плотностью r=r(х,у) относительно осей О х, О у и начала координат соответственно.

_____________________

1. Найти массу дуги параболы у ²=2 х, заключенной между точками А(2;2) и В(8;4), если плотность кривой в каждой точке r=r(х,у)= .

2. Вычислить массу и координаты центра тяжести однородной дуги циклоиды x=a(t-sint), y=a( 1 -cost), 0£ t £2p.

3. Вычислить криволинейный интеграл , где l – окружность х ² +у ²= ах (а >0).

4. Вычислить криволинейный интеграл , где L – отрезок прямой, соединяющей точки (0;-2) и (4;0).

5. Найти массу дуги АВ кривой y=lnx, если в каждой ее точке линейная плотность равна квадрату абсциссы точки, причем А(1;0); В(3; ln 3).

_______________________

Ответы: 1. . 2. m =8 a, . 3. 2 а ² (Указание: ввести полярные координаты x=rcos j, y=rsin j. Тогда уравнение окружности примет вид r=acos j, ). 4. . 5. .

Дата добавления: 2015-07-15