П. Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть на отрезке задана непрерывная функция . Фигура, ограниченная сверху графиком функции , снизу осью , сбоку – прямыми и , называется криволинейной трапецией. Найдем площадь этой трапеции.

Для этого отрезок точками разобьем на частичных отрезков (см. рисунок.). В каждом частичном отрезке , выберем произвольную точку и вычислим значение функции в ней, т.е. величину . Умножим найденное значение функции на длину соответствующего частичного отрезка: . Произведение равно площади прямоугольника с основанием и высотой . Сумма всех таких произведений

Равна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна площади криволинейной трапеции:

С уменьшением всех величин точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличиваются. Поэтому за точное значение площади криволинейной трапеции принимается предел , к которому стремится площадь ступенчатой фигуры , когда неограниченно возрастает так, что :

, то есть

Итак, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.

В этом и состоит геометрический смысл определенного интеграла.

---

Дата добавления: 2015-07-15