П. Определенный интеграл как предел интегральной суммы

Пусть функция определена на отрезке , . Выполним следующие действия:

1. С помощью точек разобьем отрезок на частичных отрезков (см. рисунок.)
2. В каждом частичном отрезке , выберем произвольную точку и вычислим значение функции в ней, т.е. величину
3. Умножим найденное значение функции на длину соответствующего частичного отрезка:
4. Составим сумму всех таких произведений:

(1)

Сумма такого вида называется интегральной суммой функции на отрезке . Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка: ,

1. Найдем предел интегральной суммы (1), когда так, что

Если при этом интегральная сумма имеет предел , который не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается . Таким образом:

Числа и называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования,

- подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, - переменной интегрирования, отрезок – областью интегрирования

Функция , для которой на отрезке существует определенный интеграл , называется интегрируемой на этом отрезке.

Сформулируем теперь теорему существования определенного интеграла

ТЕОРЕМА (КОШИ): Если функция непрерывна на отрезке , то определенный интеграл существует

Непрерывность является достаточным условием интегрируемости функции. Однако определенный интеграл может существовать и для некоторых разрывных функций, в частности для всякой ограниченной на отрезке функции, имеющей на нем конечное число точек разрыва.

Дата добавления: 2015-07-15