Понятие неопределенного интеграла

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции найти ее производную (или дифференциал).

В интегральном исчислении решается обратная задача: по известной производной найти исходную функцию , такую, что .

Искомую исходную функцию называют первообразной функцией для .

Определение: Функция называется первообразной функции на интервале , если для любого выполняется равенство

(или ).

Например: первообразной функции , является функция , т.к.

Очевидно, что первообразными будут являться любые функции вида , где - постоянная, поскольку

ТЕОРЕМА: Если функция является первообразной функции на интервале , то множество всех первообразных для задается формулой , где

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

П. функция является первообразной . Действительно, .

Пусть - некоторая другая первообразная функции , отличная от , т.е. , тогда для любого имеем , а это означает, согласно следствию из теоремы Лагранжа: (если производная функции равна 0 на

некотором промежутке, то эта функция постоянна на этом промежутке), следовательно , где , следовательно .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Множество всех первообразных функции для называется неопределенным интегралом и обозначается .

Таким образом, по определению

Здесь

- подынтегральная функция,

- подынтегральное выражение

- переменная интегрирования,

- знак неопределенного интеграла.

Операция нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием этой функции.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство «параллельных кривых» .

Каждому значению соответствует определенная кривая семейства.

График каждой первообразной (кривой) называется интегральной кривой.

Естественно возникает вопрос: А для каждой ли функции существует неопределенный интеграл? Имеет место следующая теорема:

ТЕОРЕМА: Всякая непрерывная на функция имеет на этом промежутке первообразную, а, следовательно, и неопределенный интеграл.

Дата добавления: 2015-07-15