Свойства неопределенного интеграла

Сформулируем свойства в виде теорем:

1. ТЕОРЕМА: Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

и

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Действительно:

Благодаря этому свойству правильность интегрирования проверяется дифференцированием.

Например: , проверяем

1. ТЕОРЕМА: Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и некоторой произвольной постоянной

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

1. ТЕОРЕМА: Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Обозначим , тогда

1. ТЕОРЕМА: Неопределенный интеграл от суммы (разности) конечного числа непрерывных функций равен сумме (разности) интегралов от слагаемых функций

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Пусть и , тогда

где .

Инвариантность формулы интегрирования

ТЕОРЕМА: Если справедливо равенство , то выполняется более общее равенство , где - произвольная дифференцируемая функция

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Известно, что . Следовательно, в теореме требуется доказать равенство . Из условия следует, что и поэтому .

Чтобы доказать равенство , найдем производную от его правой части, , отсюда учитывая получаем

. Итак, производная от правой части равенства равна подынтегральной функции интеграла, стоящего в выражении слева. Следовательно, равенство справедливо.

Т.Е. формула для неопределенного интеграла остается справедливой независимо от того является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой функцией от нее, имеющей непрерывную производную.

В частности:

Таблица основных неопределенных интегралов

Пользуясь тем, что интегрирование есть действие обратное дифференцированию, можно самим получить таблицу основных интегралов.

Например:

В интегральном исчислении нет простых и универсальных правил отыскания первообразных. Методы интегрирования сводятся к указанию приемов, приводящих данный интеграл к табличному.

Дата добавления: 2015-07-15