П. Основные свойства определенного интеграла

Укажем некоторые свойства определенного интеграла, непосредственно вытекающие из его определения:

1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования.

1. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю

1. Для любого действительного числа :

Далее идущие свойства не столь очевидны

1. Если - постоянное число и функция интегрируема на , то

То есть постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

1. Если функции и интегрируемы на , тогда интегрируема на их сумма и

Свойство распространяется на сумму любого конечного числа слагаемых.

6.

Это свойство можно принять по определению. Оно также подтверждается формулой Ньютона – Лейбница

7. Если функция интегрируема на и , то

Т.е интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка. Это свойство называют аддитивностью определенного интеграла (или свойством аддитивности)

8. «Теорема о среднем». Если функция непрерывна на отрезке , то существует точка такая, что

9. Если функция сохраняет знак на отрезке , где , то интеграл имеет тот же знак, что и функция. Так, если на отрезке , то

10. Неравенство между непрерывными функциями на отрезке , () можно интегрировать.

Так, если при , то

11. Оценка интеграла. Если и - соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке , (), то

12. Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции:

;

13. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, т.е.

Это означает, что определенный интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.

Для вычисления определенного интеграла используют все те же методы, которые мы изучили для неопределенного интеграла и формулой Ньютона- Лейбница. Конкретные примеры возьмем на практике. Отдельно обратить внимание на интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах.

Пусть функция непрерывна на отрезке , симметричном относительно , тогда

Например: 1.) , т.к. , - функция нечетная.

2) и - функция нечетная

Дата добавления: 2015-07-15