П. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования

(НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1 РОДА)

Пусть функция непрерывна на промежутке . Если существует конечный предел , то его называют несобственным интеграломпервого рода и обозначают .

Таким образом, по определению

В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится. Если же указанный предел не существует или он бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке :

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой:

Где - произвольное число. В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа.

Если непрерывная функция на промежутке и сходится, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции. (см. рисунок)

ПРИМЕР: Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

1)

2)

Следовательно, интеграл расходится.

3) - интеграл расходится

Рассмотрим без доказательства

некоторые признаки сходимости несобственных интегралов 1 рода:

ТЕОРЕМА: (признак сравнения) Если на промежутке непрерывные функции и удовлетворяют условию , то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости следует расходимость интеграла .

ПРИМЕР:

При имеем , но следовательно

интеграл также сходится и его значение меньше 1.

ТЕОРЕМА: Если существует предел , ( и ), то интегралы и одновременно оба сходятся или оба расходятся (т.е. ведут себя одинаково в смысле сходимости)

ПРИМЕР: Исследовать сходимость

РЕШЕНИЕ:

П. ИНТЕГРАЛЫ ОТ РАЗРЫВНОЙ ФУНКЦИИ (НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ РОДА)

Пусть функция непрерывна на промежутке и имеет бесконечный разрыв при . Если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают .

Таким образом, по определению,

Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл сходится, если же указанный предел не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.

Аналогично, если функция терпит бесконечный разрыв в точке , то полагают

Если функция терпит разрыв во внутренней точке отрезка , то несобственный интеграл 2 рода определяется формулой

В этом случае интеграл слева называют сходящимся, если оба несобственных интеграла, стоящих справа, сходятся.

В случае, когда несобственный интеграл 2 рода (разрыв в точке ) можно истолковать геометрически как площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции (см. рисунок)

ПРИМЕРЫ: Вычислить

РЕШЕНИЕ: При функция терпит бесконечный разрыв;

Дата добавления: 2015-07-15