Применение двойного интеграла

Двойные интегралы используются при решении многих геометрических и физических задач: вычислении площадей плоских фигур и поверхностей, объемов тел, координат центра тяжести, момента инерции и т.д.

1) Если Д – ограниченная область плоскости 0 ху, то ее площадь S вычисляется по формуле .

2) Пусть z=f(x,y) – неотрицательная непрерывная функция в замкнутой области Д. Если V – тело, ограниченное сверху поверхностью z=f(x,y), снизу – областью Д, а сбоку – соответствующей цилиндрической поверхностью с образующей параллельной оси О z и направляющей, совпадающей с границей области Д, то объем этого тела равен .

3) Пусть V – тело, ограниченное сверху поверхностью z = f(x,y), снизу поверхностью z=g(x,y), причем проекцией обеих поверхностей на плоскость О ху служит область Д, в которой функции f(x,y) и g(x,y) непрерывны (и f(x,y) ³ g(x,y)), то объем этого тела равен .

4) Предположим, что плоская пластина Д имеет поверхностную плотность распределения масс r(х,у), непрерывную в Д. Тогда масса этой пластины вычисляется по формуле .

5) Моменты инерции I_x, I_y и I_o плоской материальной пластины Д с поверхностной плотностью r(х,у) относительно координат осей О х, О у и начала координат О(0;0) соответственно вычисляются по формулам

В случае однородной пластины (r=1) эти формулы принимают более простой вид:

6) Координаты центра тяжести материальной пластины Д с плотностью r(х,у) вычисляются по формулам ; , где - статические моменты пластины Д относительно осей О х и О у соответственно, а m – ее масса. В случае однородной пластины соответственно имеем:

_____________________

1. Записать с помощью двойных интегралов и вычислить площади, ограниченные линиями:

а) ху= 4, у=х, х= 4;

б) у=х ², 4 у=х ², у =4;

в) у=х ², 4 у=х ², х =±2;

г) y=lnx, x-y= 1, y= -1.

д) у ²=4+ х, х+ 3 у= 0.

2. Определить центр масс площади, ограниченной линиями у = х ², х =4, у =0.

3. Определить моменты инерции треугольника АВС с вершинами А(0;1); В(1;2); С(2;1) относительно координатных осей и начала координат.

4. Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями:

а) z=x ²+ y ², x+y= 4, x =0, y =0, z =0.

б) z=a-x, y ²= ax, z= 0.

_____________________

Ответы: 1. а) 6-4 ln 2»3,28; б) 32/3; в) 4; г) ; д) . 2. (3;4;8); 3. 4. а) ; б) 3p а ³.

Дата добавления: 2015-07-15