Двойной интеграл в полярных координатах

Простейшим и важнейшим частным случаем криволинейных координат являются полярные координаты (r, j). Они связаны с прямоугольными координатами формулами x=rcos j, y=rsin j, (r ³0, 0£j<2p). dxdy=rdrd j - элемент площади в полярных координатах. При этом имеет место формула замены переменных в двойном интеграле при переходе к полярным координатам

К полярным координатам удобно переходить в тех случаях, когда область интегрирования круг или часть круга.

Формула площади в полярных координатах имеет вид

.

_________________________

1. Вычислить площадь, ограниченную линиями r=a( 1- cos j) и r=a и расположенную вне круга.

2. Вычислить площадь, ограниченную линиями r=a( 1- cos j) и r=a и расположенную вне кардиоиды.

3. Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями:

а) x+y+z= 3 a, x ²+ y ²= a ², z =0;

б) x ²+ y ²+ z ²=4 a ², x ²+ y ²= a ² (вне цилиндра);

в) az=x ²+ y ² , 2 az=a ²- x ²- y ².

________________________

Ответы: 1. . 2. . 3. а) 3p а ³, б) , в) .

Дата добавления: 2015-07-15