Двойной интеграл

Двойным интегралом от непрерывной функции f(x,у) по ограниченной области (Д) плоскости х О у называется предел соответствующей двумерной интегральной суммы:

,

где D х_i=x_{i+ 1} -x_i; D y_k=y_{k+ 1} -y_k и сумма распространена на те значения i и k, для которых точки (x_i; y_k) принадлежат области (Д).

Предположим, что область Д можно задать в виде системы неравенств:

a £ x £ b

y ₁(x)£ y £ y ₂(x).

Геометрически это означает, что каждая вертикальная прямая х = х ₀ (a £ x ₀£ b) пересекает границу области Д только в двух точках М ₁ и М ₂ (рис.6), которые называются соответственно точкой входа и точкой выхода. Тогда

Если же область Д (рис.7) можно задать в виде системы неравенств:

, то

.

Интегралы, стоящие в правых частях приведенных неравенств, называются повторными (или двукратными). Они отличаются друг от друга порядком интегрирования. Интеграл, содержащий функцию f(x,y), называется внутренним, другой – внешним. При вычислении повторных интегралов следует брать сначала внутренний интеграл, при этом переменная внешнего интеграла принимается постоянной. Затем вычисляется внешний интеграл (таким образом, интегрирование в повторном интеграле идет справа налево). Каждый из них вычисляется при помощи формулы Ньютона-Лейбница, как определенный интеграл.

Области, не предусматриваемые в описанном виде, следует разбить на конечное число таких областей при помощи прямых, параллельных координатным осям. При вычислении двойных интегралов по таким областям следует применить свойство адуитивности.

______________________________

1. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

2. Вычислить повторный интеграл:

а) ; б) .

3. Вычислить двойной интеграл по области Д:

а) , где Д ограничена линиями х =2, у = х, у =1/ х.

б) , где Д ограничена линиями у =0, у =Ö х, у+х= 2.

________________________

Ответы: 1. а) ; б) ;

в) + ;

г) + ; д) .

2. а) 16; б) .

3. а) 2,25; б) 5/12.

Дата добавления: 2015-07-15