Теорема 4.2 (неравенство Чебышева).

Каково бы ни было для любой случайной величины X, дисперсия которой конечна, имеет место следующее неравенство:

. (4.3)

В этом случае выполняется и неравенство

. (4.4)

Пример 4.1. Средний срок службы мотора 4 года. Оценить вероятность того, что данный мотор не прослужит более 20 лет.

Решение. Пусть случайная величина X – срок службы мотора. Из условия задачи следует, что . Требуется найти , где . Тогда, используя неравенство Маркова, получаем

.

,

Пример 4.2. Электростанция обслуживает сеть из 18000 ламп, вероятность включения каждой из которых в зимний вечер равна 0,9. Оценить вероятность того, что число ламп, включенных в сеть зимним вечером, отличается от своего математического ожидания по абсолютной величине менее чем на 200.

Решение. Пусть случайная величина X – число включенных рамп. Случайная величина распределена по биноминальному закону с математическим ожиданием . По условию задачи . Тогда, используя неравенство Чебышева, получаем

.

Точное значение можно было бы определить, используя формулу для нормального закона распределения, где по условию задачи . Тогда

.

,

Замечание: Неравенство Чебышева имеет для практики ограниченное значение, поскольку часто дает грубую, а иногда и тривиальную (не представляющую интереса) оценку. Теоретическое же значение неравенства Чебышева весьма велико, поскольку с помощью этого неравенства доказывается теорема Чебышева.

Дата добавления: 2015-07-15