Свойства дифференциальной функции НСВ

Свойство 1. Дифференциальная функция неотрицательна, т.е.

.

Свойство 2. Несобственный интеграл от дифференциальной функции в пределах от до равен единице:

. (2.4)

Теорема 2.1. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , равна определенному интегралу от дифференциальной функции, взятому в пределах от до :

. (2.5)

Доказательство. Воспользуемся соотношением из следствия 2.1.

.

По формуле Ньютона – Лейбница

.

Таким образом,

.,

Следствие 2.3. Если - плотность распределения вероятностей, то интегральную функцию распределения можно найти по формуле

. (2.6)

График функции называют кривой плотности распределения случайной величины или просто кривой вероятностей. Отметим особенности, которые присущи любой кривой вероятности:

1) она всегда лежит в верхней координатной полуплоскости;

2) площадь, заключенная между этой кривой и осью абсцисс, равна 1.

Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное между и – это площадь заштрихованной криволинейной трапеции.

Пример 2.1. Дана функция распределения СВ X:

.

Найти плотность распределения . Построить графики функций и . Найти вероятность попадания СВ X на отрезок .

Решение. 1) Чтобы найти плотность вероятности, воспользуемся формулой 2.3. Тогда получаем

.

2) Строим графики функций и

3) Находим вероятность попадания СВ X на отрезок , используя формулу 2.2. (Отметим то, что для нахождения вероятности попадания СВ X на отрезок можно воспользоваться формулой 2.5).

.

,

Пример 2.2. Найти интегральную функцию по данной дифференциальной функции

.

Решение. Чтобы найти интегральную функцию распределения, воспользуемся формулой 2.6.

Если , то .

Если , то

.

Если , то

.

Следовательно, получаем следующую интегральную функцию распределения

.

,

Дата добавления: 2015-07-15