Свойства интегральной функции НСВ

Свойство 1. Значения интегральной функции принадлежит отрезку [0; 1], т.е.

.

Свойство 2. – неубывающая функция, т.е.

.

Свойство 3. Функция распределения непрерывна слева, т.е.

.

Свойство 4. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей числовой оси , то справедливы следующие предельные соотношения:

.

Из свойства 2 вытекают два следствия, которые примем без доказательства.

Следствие 2.1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале , равна приращению интегральной функции на этом интервале:

. (2.2)

Следствие 2.2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определенное значение, равно нулю, т.е.

.

Выше дали определение непрерывной случайной величины, как случайной величины, функция распределения которой непрерывно дифференцируемая. В этом случае имеет производную, которую обозначим через , т.е. . Выясним вероятностный смысл функции . Возьмем какой-нибудь полуинтервал . Вероятность попадания значения на этот полуинтервал, т.е. , равна (следствие 2.1.):

.

Если правую и левую части этого равенства разделить на длину полуинтервала , получим

.

Левая часть – это отношение вероятности попадания значения случайной величины X на полуинтервал к длине этого полуинтервала, которое называют средней плотностью распределения вероятностей на полуинтервале . Если перейти к пределу при , получим

.

Предел средней плотности равен , и его называют плотностью распределения (дифференциальной функцией распределения) случайной величины X.

Определение 2.3. Дифференциальной функцией распределения (плотностью распределения) называют первую производную от интегральной функции:

. (2.3)

Рассмотрим свойства дифференциальной функции распределения непрерывной случайной величины, которые примем без доказательства.

Дата добавления: 2015-07-15