Свойства математического ожидания

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

.

Доказательство. Рассмотрим постоянную величину как дискретную случайную величину, которая имеет одно возможное значение и принимает его с вероятностью . Следовательно,

.,

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

.

Доказательство. Пусть случайная величина задана законом распределения вероятностей:

.

Запишем закон распределения случайной величины :

.

Найдем по формуле (1.2) математическое ожидание случайной величины :

.

Итак,

.

,

Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

.

Доказательство. Пусть независимые случайные величины и заданы своими законами распределения вероятностей. Чтобы упростить выкладки, ограничимся малым числом возможных значений:

и .

Составим закон распределения случайной величины , который примет следующий вид:

.

Математическое ожидание равно сумме произведений возможных значений на их вероятности:

.

Итак,

.

,

Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

.

Свойство 4 примем без доказательства.

Как мы отметили выше, математическое ожидание СВ характеризует среднее этой СВ, это центр ее распределения. Вторая отличительная особенность СВ – степень разброса этой величины по отношению к ее центру. Наиболее употребительной оценкой указанного разброса является дисперсия.

На первый взгляд может показаться, что для оценки рассеяния проще всего вычислить все возможные значения отклонения СВ и затем найти их средне значение. Однако такой путь ничего не даст, так как среднее значение отклонения, т.е. для любой СВ. Это объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, а другие – отрицательны; в результате их взаимное погашение среднее значение отклонения равно нулю.

Определение 1.7. Дисперсией (рассеянием) дискретной СВ называют математическое ожидание квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания:

. (1.3)

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема 1.1. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата СВ X и квадратом ее математического ожидания:

. (1.4)

Доказательство. Математическое ожидание есть постоянная величина, следовательно, и есть также постоянные величины. Приняв это во внимание и используя свойства математического ожидания, упростим формулу, выражающую определение дисперсии:

Итак,

.

,

Дата добавления: 2015-07-15