Свойства дисперсии

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

.

Доказательство. По определению дисперсии

.

Используя свойство математического ожидания, получаем

.

Итак,

.

,

Свойство становится ясным, если учесть, что постоянная величина сохраняет одно и то же значение и рассеяние, конечно, не имеет.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

.

Доказательство. По определению дисперсии

.

Используя свойство математического ожидания, получаем

.

Итак,

.

,

Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых СВ равна сумме дисперсий этих величин:

.

Свойство 4. Дисперсия разности двух независимых СВ равна сумме дисперсий этих величин:

.

Свойства 3 и 4 примем без доказательства.

Дисперсия как мера рассеивания значений СВ обладает тем недостатком, что ее размерность не совпадает с размерностью СВ (размерность дисперсии – это квадрат размерности СВ).

Поэтому вводится еще одна мера рассеивания с размерностью, совпадающей с размерностью СВ. Это так называемое среднее квадратическое отклонение.

Определение 1.8. Средним квадратическим отклонением СВ X называют квадратный корень из дисперсии:

. (1.5)

Дадим определение еще одной числовой характеристики, как мода ДСВ.

Определение 1.9. Модой M _oДСВ X называется ее наиболее вероятное значение.

Пример 1.3. СВ X задана законом распределения:

.

Построить функцию распределения и ее график. Найти числовые характеристики заданного закона распределения.

Решение. 1) Найдем функцию распределения ДСВ X. Значения СВ X: разбивают числовую прямую на четыре промежутка .

Если , то .

Если , то .

Если , то .

Если , то .

Таким образом, получаем следующую функцию распределения:

.

График данной функции имеет вид:

2) Найдем числовые характеристики ДСВ X.

Найдем математическое ожидание:

.

Найдем дисперсию:

.

Найдем среднее квадратическое отклонение:

.

Мода соответственно равна M _o=10.

,

Пример 1.4. Найти закон распределения ДСВ , которая может принимать только два значения с вероятностью и (причем ), если известны математическое ожидание и дисперсия .

Решение. Поскольку , а , то . Тогда имеем следующий закон распределения:

.

По формулам (1.2) и (1.4) получаем:

;

.

Составляем систему уравнений

Û .

Решив систему уравнений, получаем два решения: , или , . По условию задачи подходит первое решение.

Итак, , .,

Дата добавления: 2015-07-15