Нормального распределения

Рассмотрим свойства плотности вероятности СВ X, распределенных по нормаль-ному закону с параметрами a и s.

График дифференциальной функции нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса).

Исследуем функцию

, где s>0.

методом дифференциального исчисления.

1). Функция определена на всей числовой оси Ox., т.е. .

2). При всех значениях x функция принимает положительные значения, т.е. нормальная кривая расположена выше оси Ox.

3). , т.е. ось Ox служит горизонтальной асимптотой графика.

4). Исследуем функцию на экстремум. Найдем первую производную:

.

Легко видеть, что при x = a, при x < a, при x > a.

Следовательно, при x = a функция имеет максимум .

5). Разность x - a содержится в аналитическом выражении в квадрате, т.е. график функции симметричен относительно прямой x = a.

6). Исследуем функцию на точки перегиба. Найдем вторую производную:

.

Легко видеть, что при x ₁= a -s и x ₂= a +s вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки она меняет знак. Причем значения функции в обеих точках равны . Таким образом, точки графика

и

являются точками перегиба.

Значит, график функции принимает вид

Как видно, на форму и расположение нормальной кривой влияют значения параметров a и s.

Изменение величины параметра a (математического ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси Ox: вправо, если a возрастает и влево, если a убывает.

С возрастанием s максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т.е. сжимается к оси Ox; при убывании s нормальная кривая становится более «островершинной» и растягивается в положительном направлении оси Oy.

Выше было рассмотрено, как можно найти вероятность того, что СВ X, которая распределена по нормальному закону примет значение, принадлежащее интервалу (x ₁; x ₂), и связь с интегральной функцией Лапласа:

. (*)

Часто на практике требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной СВ X по абсолютной величине меньше заданного положительного числа d, т.е. требуется найти вероятность осуществления неравенства .

Заменим это неравенство равносильным ему двойным неравенством

или

.

Используя формулу (*), получаем

(функция Лапласа – нечетная)= .

Итак, окончательно получаем

. (2.16)

В частности, при

. (2.17)

Пример 2.10. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и дисперсия этой величины соответственно равны 20 и 100. Найти вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше трех.

Решение. По условию . Следовательно,

.

Значение функции F(0,3) находим по таблице значений интегральной функции Лапласа.

,

Далее мы рассмотрим так называемое правило «трех сигм».

Преобразуем формулу

,

положив . В итоге получим

.

Если и, следовательно, , то

.

т.е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973.

Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна 0,0027. Это означает, что лишь в 0,27 % случаев так может произойти. Такие события, исходя из принципа невозможности маловероятных событий, можно считать практически невозможными. В этом и состоит сущность правила трех сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

На практике правило трех сигм применяется так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то имеются основания предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально.

3. МОМЕНТЫ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Выше были рассмотрены числовые характеристики СВ: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Рассмотрим ДСВ X, заданную законом распределения:

Найдем математическое ожидание X:

.

Напишем закон распределения X ²:

.

Найдем математическое ожидание X ²:

.

Мы видим, что значительно больше . Это объясняется тем, что после возведения в квадрат возможное значение величины X ², соответствующее значению x =100 величины X, стало равно 10000, т.е. значительно увеличилось; вероятность же этого значения мала, т.е. 0,01.

Таким образом, переход от к позволил лучше учесть влияние на математическое ожидание того возможного значения, которое велико и имеет малую вероятность. Разумеется, если бы величина X имела несколько больших и маловероятных значений, то переход к величине X ², а тем более к величинам X ³, X ⁴, и т.д., позволил бы еще больше «усилить роль» этих больших, но маловероятных возможных значений. Вот почему оказывается целесообразным рассматривать математическое ожидание целой положительной степени СВ (не только дискретной, но и непрерывной).

Определение 3.1. Начальным моментом k-го порядка СВ X называют математическое ожидание величины :

. (3.1)

Для ДСВ X и НСВ X начальные моменты можно находить по следующим формулам:

. (3.2)

В частности, . Пользуясь этими моментами формулу для вычисления дисперсии можно записать так:

.

Кроме моментов СВ X, целесообразно рассматривать моменты отклонения .

Определение 3.2. Центральным моментом k-го порядка СВ X называют математическое ожидание величины :

. (3.3)

Для ДСВ X и НСВ X центральные моменты можно находить по следующим формулам:

. (3.4)

В частности, . В последнем соотношении видим, что можно связать начальные и центральные моменты. Нетрудно, исходя из определения центрального момента и пользуясь свойствами математического ожидания, получить следующие формулы:

,

.

Моменты более высоких порядков применяются редко.

Пример 3.1. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

.

Найти начальные и центральные моменты первого, второго и третьего порядков СВ X.

Решение. В соответствии с формулой (3.2) находим сначала начальные моменты:

;

;

.

Вычислим центральные моменты, согласно формуле (3.4):

;

;

.

,

Эмпирическим распределением называют распределение относительных частот. Такие распределения изучает математическая статистика. Теоретическим распределением называют распределение вероятностей. Такие распределения изучает теория вероятностей.

При изучении распределений, отличных от нормального, возникает необходимость количественно оценить это различие. С этой целью вводят специальные характеристики, в частности, ассиметрию и эксцесс. Для нормального распределения эти характеристики равны нулю. Поэтому, если ассиметрия и эксцесс изучаемого распределения имеют небольшие значения, отличные от нуля, то можно предположить близость этого распределения к нормальному. Большие же значения ассиметрии и эксцесса указывают на значительное отклонение от нормального.

Можно доказать, что для симметричного распределения плотности вероятностей (график такого распределения симметричен относительно прямой ) каждый центральный момент нечетного порядка равен нулю. Для несимметричных распределений центральные моменты нечетного порядка отличны от нуля. Любой из этих моментов может служить для оценки ассиметрии. Значение , следующим после него центральным моментом нечетного порядка является m ₃.

Определение 3.3. Ассиметрией теоретического распределения называют отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения:

. (3.5)

Графически это выглядит так:

Ассиметрия положительна, если «длинная часть» кривой распределения расположена справа от математического ожидания; ассиметрия отрицательна, если «длинная часть» кривой расположена слева от математического ожидания.

Практически определяют знак ассиметрии по расположению кривой относительно моды.

Для оценки «крутости», т.е. большего или меньшего подъема кривой теоретического распределения по сравнению с нормальной кривой, пользуются характеристикой - эксцессом. Четвертый центральный момент служит для характеристики крутости распределения X по сравнению с крутостью распределения нормальной СВ.

Определение 3.4. Эксцессом теоретического распределения называют характеристику, которая определяется равенством

. (3.6)

Для нормального распределения , поэтому .

Графически это выглядит так:

Если эксцесс некоторого распределения отличается от нуля, то кривая этого распределения отличается от нормальной кривой: если эксцесс положительный, то кривая имеет более высокую и «острую» вершину, чем нормальная кривая; если эксцесс отрицательный, то сравниваемая кривая имеет более низкую и «плоскую» вершину, чем нормальная кривая.

4. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

Нельзя заранее уверенно предвидеть, какое из возможных значений примет случайная величина в итоге испытания; это зависит от многих причин, учесть которые мы не в состоянии. Казалось бы, что о каждой случайной величине мы располагаем в этом смысле весьма скромные сведения, то вряд ли можно установить закономерности поведения и суммы достаточно большого числа случайных величин. На самом деле это не так. Оказывается, что при некоторых сравнительно широких условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным.

Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли. Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли – простейшей.

Прежде, чем перейти к рассмотрению этих теорем, мы введем сначала неравенство Маркова и неравенство Чебышева, которые примем без доказательства.

Дата добавления: 2015-07-15