Элементы теории надежности

Показательное распределение широко применяется в приложениях, в частности, в теории надежности, одним из основных понятий которой является функция надежности.

Термины и их определения в области надежности регламентирует ГОСТ 27.002-89 «Надежность в технике», который содержит 85 терминов.

Надежность – свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания, ремонта, хранения и транспортирования.

Объект (машина, станок, прибор, датчик и т.д.) может находиться в следующих состояниях (см. рисунок): исправном, неисправном (работоспособном), неработоспособном (непредельном), предельном.

Работоспособное состояние – состояние объекта, при котором значения всех параметров, характеризующих способность выполнять заданные функции, соответствуют требованиям нормативно-технической и (или) конструкторской документации.

Объект может находиться в работоспособном, но неисправном состоянии (например, из-за повреждения в виде вмятин или царапин на корпусе) Повреждение – некоторое событие, которое заключается в нарушении исправного состояния при сохранении работоспособного состояния.

Переход объекта из работоспособного состояния в неработоспособное происходит в результате отказа. Отказы следует отличать от повреждений, при которых изделие становится не соответствующим хотя бы одному из требований технических условий, но сохраняет свою работоспособность.

Отказ – событие, заключающееся в нарушении работоспособности объекта. Существует 8 видов отказов: внезапный, постепенный, независимый, зависимый, перемежающийся, конструкционный, производственный, эксплуатационный. По физическому смыслу, последствиям и специфике проявления особо значимыми являются внезапный и постепенный отказы (подробнее можно найти в книге Схиртладзе А.Г. Надежность и диагностика технологических систем: учеб. / А.Г. Схиртладзе и др. – Москва: Новое знание, 2008. – 518 с.)

Дадим характеристику свойства безотказности.

Безотказность – свойство объекта непрерывно сохранять работоспособное состояние до наступления предельного состояния при установленной системе технического обслуживания и ремонта в течение некоторого времени или наработки.

Следует учитывать четыре важных специфических аспекта надежности:

- комплексный характер, т.е. связь надежности со всеми этапами жизненного цикла изделий (проектирование, изготовление, эксплуатация);

- фактор времени, так как оценивается изменение начальных параметров в процессе эксплуатации изделия. Рассматривать проблему надежности абстрактно (вне времени) не имеет смысла;

- прогнозирование поведения изделия с точки зрения сохранения его выходных параметров (показателей надежности);

- вероятностный характер отказов, процессов, параметров и показателей, определяемой некоторой случайной функцией (или событиями).

Эта специфика отражена в показателях надежности. Основной показатель надежности изделия – вероятность безотказной работы , т.е. вероятность того, что в заданном интервале времени не возникнет отказа. Вероятность безотказной работы и вероятность отказа образуют полную группу событий:

.

Допустимые значения устанавливаются в зависимости от целевого назначения изделий или экономической целесообразности:

· в авиации (т.е. близка к единице, отказ в течение эксплуатации ресурса недопустим);

· в машиностроении у станков с ЧПУ, оснащенных системами диагностики .

В электронной промышленности надежность датчика должна рассматриваться в двух аспектах (материал взят из УМК «Типовые компоненты и датчики контрольно-диагностических средств: УМК для спец. 1 – 39 02 01 / Сост. Д.А. Довгяло. – Новополоцк: ПГУ, 2004. – 384 с.):

1) механическая надежность – механическая прочность конструкции датчика, целостность его конфигурации, целостность его электрических цепей, безусловная герметичность узла уплотнения в условиях эксплуатации датчика;

2) метрологическая надежность - способность сохранять во времени достоверность измерений в пределах установленных норм в заданных условиях эксплуатации. В этом случае с позиций метрологической надежности под отказом надо понимать выход суммарной погрешности датчика за допустимые пределы.

Метрологическая надежность является одной из важнейших характеристик датчиков. Можно условно установить следующие уровни метрологической надежности:

- высокая;

- повышенная;

- нормальная;

- пониженная.

Будем называть элементом некоторое устройство, независимо от того «простое» оно, или «сложное». Пусть элемент начинает работать в момент времени , а по истечении времени длительностью происходит отказ. Обозначим через непрерывную случайную величину – длительность времени безотказной работы элемента. Если элемент проработал безотказно (до наступления отказа) время, меньшее чем , то, следовательно, за время длительностью наступает отказ.

Таким образом, интегральная функция

(2.12)

определяет вероятность отказа за время длительностью .

Вероятность отказа и вероятность безотказной работы образуют полную группу событий:

.

Следовательно, вероятность безотказной работы за это же время, длительностью , т.е. вероятность противоположного события , равна

. (2.13)

Определение 2.9. Функцией надежности называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за время длительностью :

.

Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение. Тогда для определения вероятности отказа используется интегральная функция, которая имеет вид:

.

Следовательно, функция надежности, в случае показательного распределения времени безотказной работы элемента, имеет вид

.

Определение 2.10. Показательным законом надежности называют функцию надежности, определяемую равенством

, (2.14)

где l - интенсивность отказа.

Эта формула позволяет найти вероятность безотказной работы элемента на интервале времени, длительностью , если время безотказной работы имеет показательное распределение.

Пример 2.7. Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону с плотностью распределения при t ³ 0 (t – время в часах). Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 часов.

Решение. По условию постоянная интенсивность отказа l=0,02. Используя формулу, получаем вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 часов.

.

,

Показательный закон надежности весьма прост и удобен для решения задач, возникающих на практике. Очень многие формулы теории надежности значительно упрощаются. Объясняется это тем, что этот закон обладает следующим важным свойством: вероятность безотказной работы элемента на интервале длительностью не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени (при заданной интенсивности отказов l). Это значит, что в случае показательного закона надежности, безотказная работа элемента «в прошлом» не сказывается на величине вероятности его безотказной работы «в ближайшем будущем».

Пример 2.8. Длительность времени безотказной работы каждого из трех элементов, входящих в техническое устройство, имеет показательное распределение. Среднее время безотказной работы для каждого элемента равно 500 ч. Техническое устройство работает при условии безотказной работы всех трех элементов. Определить вероятность безотказной работы устройства в течение не менее 800 ч, если время безотказной работы каждого элемента не зависит от времени работы двух других элементов.

Решение. Искомая вероятность равна вероятности того, что в течение не менее 800 ч будут безотказно работать все три элемента устройства.

Пусть событие означает, что k -й элемент устройства проработает безотказно не менее 800 ч (). События независимые. Тогда, используя теорему умножения независимых событий, получаем

.

Найдем теперь вероятность события . Пусть случайная величина T – время безотказной работы k -ого элемента. По условию задачи среднее время безотказной работы для каждого элемента равно 500 ч, т.е. математическое ожидание величины T равно 500 ч (). Следовательно, . В таком случае функция надежности, которая определяет вероятность безотказной работы элемента, имеет вид

.

Тогда вероятность события

.

Таким образом,

.

,

2.3.4. Нормальное распределение

Непрерывная случайная величина X имеет нормальное распределение (закон Гаусса) с параметрамиa и s, если её плотность вероятности имеет вид:

, где s>0.

График дифференциальной функции нормального закона НСВ X имеет вид:

Обозначим через множество СВ, распределенных по нормальному закону с параметрами и . Интегральная функция распределения нормальной СВ X Î N (a; s) равна

.

График интегральной функции нормального закона НСВ X имеет вид:

Мы видим, что нормальное распределение определяется двумя параметрами: a и s. Достаточно задать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение. Выясним вероятностный смысл этих параметров.

1) По определению математического ожидания непрерывной случайной величины

=(Приняв по внимание, что новые пределы интегрирования равны старым)=

=(Первый интеграл: под знаком интеграла нечетная функция; пределы интегрирования симметричны относительно начала координат.

Второй интеграл: интеграл Пуассона .)

Итак, , т.е. математическое ожидание нормального распределения равно параметру a.

2) По аналогии можно показать, что дисперсия непрерывной случайной величины, которая распределена по нормальному закону распределения, равна , где s - второй параметр нормального распределения.

Следовательно, .

Итак, среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру s.

Применение: Надо отметить, что по нормальному закону распределено большое количество случайных величин. Этому закону подчиняется распределение роста двадцатилетнего мужчины; вес женщины, рост которой равен 170 см; дальность полета снаряда; результат измерения длины, массы, времени и т.д.

Нормированным (стандартным) называют нормальное распределение с параметрами a =0 и s=1. Например, если X – нормальная величина с параметрами a и s, то – нормированная нормальная величина, причем M (U)=0, . Множество нормированных нормальных распределений обозначим N (0; 1).

Дифференциальная функция нормированного распределения

.

Эта функция табулирована (таблица локальной функции Лапласа).

Интегральная функция нормированного распределения имеет вид:

.

Эта функция тоже табулирована.

Вероятность попадания нормированной нормальной величины X в интервал (0; x) можно найти, используя функцию Лапласа , т.е. покажем, как взаимосвязаны интегральная функция Лапласа и интегральная функция нормированного распределения.

.

Учитывая, что и, следовательно, в силу симметрии j(x) относительно нуля, . Значит, .

Тогда

.

Итак, .

Мы уже знаем, что если случайная величина X задана дифференциальной функцией p (x), то вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (a; b), такова:

Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону. Тогда вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (x ₁; x ₂), равна

.

Преобразуем эту формулу так, чтобы можно было пользоваться готовыми таблицами. Введем новую переменную . Отсюда . Найдем новые пределы интегрирования. Если , то ; если , то .

Таким образом, имеем

(Воспользуемся функцией Лапласа)=

.

Итак, получаем

. (2.15)

Пример 2.9. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (16; 52).

Решение. По условию . Следовательно,

.

По таблице значений интегральной функции Лапласа определяем и .

,

Дата добавления: 2015-07-15