Независимость событий

Можно уточнить понятие независимости событий. События и независимы, если условная вероятность события при условии совпадет с безусловной вероятностью события , то есть . Несколько событий называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не изменяется в связи с наступлением или ненаступлением любого другого события или их комбинации.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из не­зависимых в совокупности событий , ,..., определяется формулой

(2.5)

где – вероятности соответствующих противо­положных событий ().

Доказательство.

Пусть в результате испытания могут произойти независимые в совокупности события , ,..., . Рассмотрим событие , которое состоит в том, что произойдет хотя бы одно из этих событий. Тогда – это событие, которое состоит в том, что не появится ни одно из этих событий, то есть

.

События и образуют полную группу событий. Поэтому . Следовательно, вероятность того, что произойдетхотя бы одно из этих событий, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий:

.

Следствие. Если все события имеют одинаковую вероятность , то .

Отсюда имеем:

.

Пример 5. Три студента сдают экзамен. Вероятность того, что первый студент сдаст экзамен, равна 0,6; для второго – 0,7; для третьего – 0,75.

Найти вероятность того, что хотя бы один студент сдаст экзамен.

Решение.

Пусть , , – события, которые состоят в том, что экзамен будет сдан соответственно первым, вторым, третьим студентами, а событие – в том, что экзамен сдаст хотя бы один студент.

По условию задачи известно, что ; и . Тогда , , .

Следовательно, вероятность того, что экзамен сдаст хотя бы один студент, равна:

.

Определим необходимое количество испытаний.

Пусть произведено испытаний. Вероятность желаемого результата (успеха) для каждого из них равна .

Нужно определить количество испытаний, которое необходимо для получения желаемого результата, с надежностью не менее чем .

Обозначим события следующим образом:

пусть – это событие, которое заключается в том, что желаемый результат достигнут, то есть успешным было хотя бы одно испытание;

тогда – событие, которое заключается в том, что все испытания проведены без достижения желаемого результата.

По условию , т. е. , где .

Тогда

.

Прологарифмируем полученное неравенство:

.

Так как , то

. (2.6)

Например, при и .

Дата добавления: 2015-07-14