Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Алгебра событий

Читайте также:
  1. А) Лука не был очевидцем описываемых им событий.
  2. Алгебраический критерий устойчивости Гурвица
  3. Билет 18. Умножение вероятностей для произвольного числа событий
  4. В преддверии новых событий
  5. Векторна алгебра
  6. Выплата по карточкам осуществляется сразу же после окончания событий

Пусть — пространство элементарных исходов некоторого случайного эксперимента (т.е. непустое множество произвольной природы). Мы собираемся определить набор подмножеств , которые будут называться событиями, и затем задать вероятность как функцию, определённую только на множестве событий (каждый третий студент 1 курса ЭФ не знает, что такое область определения функции. А вы знаете?).

Итак, событиями мы будем называть не любые подмножества , а лишь элементы некоторого выделенного набора подмножеств . При этом необходимо позаботиться, чтобы этот набор подмножеств был замкнут относительно введённых в параграфе 2 главы 1 операций над событиями, т.е. чтобы объединение, пересечение, дополнение событий снова давало событие. Сначала введём понятие алгебры событий.

Определение 10. Множество , элементами которого являются подмножества множества (не обязательно все) называется алгеброй (алгеброй событий), если оно удовлетворяет следующим условиям:

(A1) (алгебра событий содержит достоверное событие);

(A2) если , то (вместе с любым событием алгебра содержит противоположное событие);

(A3) если и , то (вместе с любыми двумя событиями алгебра содержит их объединение).

Из свойств (A1) и (A2) следует, что пустое множество также содержится в .

Из (A3) следует, что вместе с любым конечным набором событий алгебра содержит их объединение: для любого , для любых ,..., выполнено .

Вместо замкнутости относительно операции объединения можно требовать замкнутость относительно операции пересечения.

Свойство 1. Свойство (A3) в определении 10 можно заменить на

(A4) если и , то .

Доказательство. Докажем, что при выполнении (A1) и (A2) из (A3) следует (A4). Если , , то , по свойству (A2). Тогда из (A3) следует, что , и, по (A2), дополнение к этому множеству также принадлежит . В силу формул двойственности, дополнение к объединению как раз и есть пересечение дополнений:

Аналогично доказывается, что при выполнении (A1) и (A2) из (A4) следует (A3), т.е. эти два свойства в определении взаимозаменяемы.

Пример 11. Пусть — пространство элементарных исходов. Следующие наборы подмножеств являются алгебрами (проверьте это по определению):

1. тривиальная алгебра.

2. .

3. , где — произвольное подмножество (в предыдущем примере ).

4. множество всех подмножеств .

Упражнение 11. Доказать, что если состоит из элементов, то в множестве всех его подмножеств ровно элементов.


Дата добавления: 2015-07-14; просмотров: 204 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Примеры решения задач по комбинаторике | Билет 2. Перестановки без повторений | Размещения без повторений | Число сочетаний | Билет 5.Размещения с повторениями. | Билет 6.Краткая история возникновения теории | Билет 7. Основные определения. Случайные, достоверные и невозможные события | Лучайные события и их классификация, операции над событиями. | Билет 8. Классическое определение вероятности. Примеры. | Диаграммы Эйлера-Венна |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Билет 9. Статистическое определение вероятности. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты. Примеры.| Сигма-алгебра событий.

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.013 сек.)