Читайте также: |
|
Пусть — пространство элементарных исходов некоторого случайного эксперимента (т.е. непустое множество произвольной природы). Мы собираемся определить набор подмножеств , которые будут называться событиями, и затем задать вероятность как функцию, определённую только на множестве событий (каждый третий студент 1 курса ЭФ не знает, что такое область определения функции. А вы знаете?).
Итак, событиями мы будем называть не любые подмножества , а лишь элементы некоторого выделенного набора подмножеств . При этом необходимо позаботиться, чтобы этот набор подмножеств был замкнут относительно введённых в параграфе 2 главы 1 операций над событиями, т.е. чтобы объединение, пересечение, дополнение событий снова давало событие. Сначала введём понятие алгебры событий.
Определение 10. Множество , элементами которого являются подмножества множества (не обязательно все) называется алгеброй (алгеброй событий), если оно удовлетворяет следующим условиям:
(A1) (алгебра событий содержит достоверное событие);
(A2) если , то (вместе с любым событием алгебра содержит противоположное событие);
(A3) если и , то (вместе с любыми двумя событиями алгебра содержит их объединение).
Из свойств (A1) и (A2) следует, что пустое множество также содержится в .
Из (A3) следует, что вместе с любым конечным набором событий алгебра содержит их объединение: для любого , для любых ,..., выполнено .
Вместо замкнутости относительно операции объединения можно требовать замкнутость относительно операции пересечения.
Свойство 1. Свойство (A3) в определении 10 можно заменить на
(A4) если и , то .
Доказательство. Докажем, что при выполнении (A1) и (A2) из (A3) следует (A4). Если , , то , по свойству (A2). Тогда из (A3) следует, что , и, по (A2), дополнение к этому множеству также принадлежит . В силу формул двойственности, дополнение к объединению как раз и есть пересечение дополнений:
Аналогично доказывается, что при выполнении (A1) и (A2) из (A4) следует (A3), т.е. эти два свойства в определении взаимозаменяемы.
Пример 11. Пусть — пространство элементарных исходов. Следующие наборы подмножеств являются алгебрами (проверьте это по определению):
1. — тривиальная алгебра.
2. .
3. , где — произвольное подмножество (в предыдущем примере ).
4. — множество всех подмножеств .
Упражнение 11. Доказать, что если состоит из элементов, то в множестве всех его подмножеств ровно элементов.
Дата добавления: 2015-07-14; просмотров: 204 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Билет 9. Статистическое определение вероятности. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты. Примеры. | | | Сигма-алгебра событий. |