Билет 18. Умножение вероятностей для произвольного числа событий

Пусть - произвольные случайные события. Если эти события независимы в совокупности, то опираясь на формулу (4.7) для двух событий, получаем:

=

=│учтем, что события И Независимы│= (4.14)

=

Итак, если события независимы в совокупности, то

(4.15)

Если же эти события зависимы, то опять реализуя схему (4.14) по последовательному “отщеплению” отдельных событий, но используя уже формулу (4.6), получим:

(4.16)

Таким образом, учитывая (4.15) и (4.16), получаем следующие итоговые формулы для вероятности произведения произвольного числа любых случайных событий:

- если события

независимы в совокупности (4.17)

- если

события Зависимы

А теперь рассмотрим примеры решения задач с применением формул сложения и умножения вероятностей.

Пример 1. Два стрелка по разу стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,7, а для второго 0,8. Найти вероятность того, что

А) в мишень попадут оба; б) оба промахнутся; в) попадет хотя бы один из них; г) попадет только один из них.

Решение. Введем обозначения:

событие А1 – попадание первого стрелка в мишень;

событие А2 – попадание второго стрелка в мишень;

событие А – попадание обоих;

событие В – промах обоих;

событие С – попадание хотя бы одного из них;

событие D – попадание только одного из них.

По условию задачи,

А) Найдем . Очевидно, что Поэтому

│учтем, что события и независимы│=

= =0,7·0,8=0,56.

Б) Найдем . Учтем, что Поэтому

|учтем, что события и независимы| =

= = =0,3·0,2=0,06.

В) Найдем . Учтем, что Поэтому

=׀учтем, что события и совместны׀=

=

Заметим, что можно было найти и иначе, если учесть, что = :

Г) Найдем . Учтем, что . Поэтому

=׀учтем, что события и несовместны׀ =

= =

=│учтем, что множители в обоих произведениях независимы│=

=

Таким образом, из четырех рассмотренных событий (А; В; С; D) наиболее вероятным является событие С – попадание в мишень хотя бы одного из двух стрелков. Его вероятность равна 0,94. Это значит, что В среднем из каждых 100 парных выстрелов будет 94 таких, когда в мишень кто-либо из двух стрелков попадет. А наименее вероятным является событие В – промах обоих. Его вероятность равна 0,06. Это значит, что В среднем из каждых 100 парных выстрелов будет лишь 6 таких, когда оба стрелка промахнутся.

Билет 19. Независимые события в совокупности

Теперь мы распространим понятие независимости на случай произвольного конечного набора событий . Мы обсудим два способа распространения Определения 1.6, а именно, понятия взаимной независимости и попарной независимости. Начнем с первого из них.

В литературе употребляются следующие термины-синонимы:

События --

Определение 1.7 События называются независимыми, если для всех и для любых верно

Рассмотрим теперь второе, более слабое определение независимости.

Определение 1.8 События называются попарно независимыми, если

Замечание 1.2 Понятия независимости и попарной независимости набора событий не являются равносильными, а именно,

Независимость		попарная независимость

Первая импликация вытекает из Определений 1.7 и 1.8. Следующий пример показывает, что события могут быть попарно независимыми, но зависимыми в совокупности.

Пример 1.6 Производится бросание двух костей. Рассмотрим следующие события:

на первой кости выпало нечетное число очков ,

на второй кости выпало нечетное число очков ,

сумма очков -- нечетна .

События -- попарно независимые. Действительно,

Но независимости в совокупности нет, так как

Пример 1.7 Важный пример независимых в совокупности событий возникает в схеме испытаний Бернулли. Как и в Примере 1.4, рассмотрим события

-е испытание закончилось ``успехом'' .

Из Упражнений 1.2 и 1.3 вытекает, что

для любого поднабора индексов . Следовательно, события независимы в совокупности. Поэтому, впредь мы будем говорить, что схема Бернулли является моделью последовательности независимых испытаний Бернулли.

Билет 20.Формула полной вероятности. Формулы Байеса.

Дата добавления: 2015-07-14