Задачи на условную вероятность и независимость событий

Задача 21.. Из полной колоды из 36 карт вытаскивают одну карту. Событие A - карта красная, B – карта туз. Будут ли они независимы?

Решение. Согласно классическому определению вероятности P(B)= 1/9 P(A)=1/2, P(AB)=1/18. Это означает, что события A и B. независимы.

Задача 22. Решить ту же задачу для колоды, из которой удалена дама пик.

Решение. P(A)=18/35, P(B)=4/35, P(AB)=2/35. Независимости нет.

Задача 23. Двое поочередно бросают монету. Выигрывает тот, у которого первым выпадет герб. Найти вероятности выигрыша для обоих игроков.

Решение. Можно считать, что элементарные события – это конечные последовательности вида (0,0,1,…,0,1). Для последовательности длины n соответствующее элементарное событие имеет вероятность Игрок, начинающий бросать монету первым, выигрывает, если реализуется элементарное событие , состоящее из нечетного числа нулей и единиц. Поэтому вероятность его выигрыша равна

1/2 + 1/8+1/32 + ….=

Выигрыш второго игрока соответствует четному числу нулей и единиц. Он равен

1/4+1/16 +1/64+…..=

Из решения следует, что игра заканчивается за конечное время с вероятностью 1.(т.к. 1/3+2/3=1).

Задача 24. Для того чтобы разрушить мост, нужно попадание не менее 2 бомб. Сбросили 3 бомбы с вероятностями попадания 0.1, 0.3, 0.4. Найти вероятность разрушения моста.

Решение. Пусть события A,B,C состоят в попадании 1,2,3 бомбы соответственно. Тогда разрушение моста соответствует событию

В силу того, что слагаемые в этой формуле попарно несовместны, а сомножители в слагаемых независимы, искомая вероятность равна

(0.1)(0.3)(0.4)+ (0.1)(0.3)(0.6)+ (0.1)(0.7)(0.4)+ (0.9)(0.3)(0.4)=0.166.

Дата добавления: 2015-07-14