Повторные независимые испытания. Схема Бернулли

Испытания называются однородными независимыми, если они происходят независимо друг от друга, в одинаковых условиях и так, что вероятность появления события во всех испытаниях одинакова.

Пусть происходят однородных независимых испытаний, в каждом из которых может произойти или не произойти определенное событие (такую серию повторных независимых испытаний называют схемой Бернулли). Вероятность появления события в каждом испытании равна .

Тогда вероятность того, что в результате независимых испытаний событие произойдет ровно раз, вычисляется по формуле Бернулли:

. (3.1)

Пример 1. Стрелок производит 5 выстрелов в тире; вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,9. Найти вероятность того, что из пяти выстрелов было не менее двух успешных.

Решение.

Событие – из пяти выстрелов были не менее двух успешных – является объединением четырех событий: «2 попадания», «3 попадания», «4 попадания», «5 попаданий». Но проще найти вероятность противоположного события – из пяти выстрелов одно попадание или ни одного:

.

Следовательно, .

Число появления события в независимых испытаниях называется наивероятнейшим, если вероятность пояления события раз наибольшая. Наивероятнейшее число появления события в испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с вероятностью (и не произойти с вероятностью ), определяется неравенством:

, (3.2)

где – целое число.

Доказательство.

Из условия – наибольшее, тогда:

и .

Из первого условия следует, что .

По формуле Бернулли имеем:

, ,

, , .

Поскольку , то .

Из второго условия с помощью аналогичных преобразований имеем:

, , откуда .

То есть доказано, что .

Если при вычислении значения получим целое число, то имеем два значения наивероятнейшего числа , если является дробным, то наивероятнейшее число одно.

Пример 2. Доля изделий высшего сорта на данном предприятии составляет 31 %. Найти наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случайно отобранной партии из 75 изделий.

Решение.

Неравенство (3.2) при , и имеет вид: , то есть , откуда следует, что , потому что это единственное целое число, которое находится между числами 22,56 и 23,56.

Пример 3. Контролер проверяет 24 изделия. Вероятность того, что изделие стандартное равна 0,6. Найти наивероятнейшее число стандартных изделий.

Решение.

По условию задачи , и .

Тогда получаем:

, ,

откуда следует, что и .

3.2. Локальная теорема Муавра – Лапласа

Если вероятность появления события в каждом из независимых испытаний постоянна, а число испытаний достаточно большое (), то вероятность того, что в этих испытаниях событие произойдет раз, вычисляется по формуле Муавра – Лапласа:

, (3.3)

где , (3.4)

– дифференциальная функция Лапласа,

.

Таблицу значений функции можно найти в приложении (табл. А.1). Исследование функции приведено ниже.

Отметим лишь, что в таблице приведены значения для положительных значений , потому что - четная функция, то есть .

Для значений следует считать, что .

Пример 4. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Найти вероятность того, что из 200 рожденных детей количество мальчиков и девочек будет одинаковым.

Решение.

В данном случае ; ; ; ; .

Значение , которое соответствует согласно формуле (3.4), равно:

.

Так как, , то по формуле (27.3) получим:

.

Дата добавления: 2015-07-14