Эксперимента

Лекция 1. Эмпирические и логические основы

Теории вероятностей

Стохастический эксперимент, его роль и место при

Моделировании социально-экономических и естественных

Процессов

В природе, технике и экономике нет явлений, в которых не присутствовали бы элементы случайности. Существует два подхода к изучению этих явлений. Один из них – классический. Он состоит в том, что выделяются основные факторы, определяющие данное явление, а влиянием множества остальных, приводящих к случайным отклонениям от результата, пренебрегают. Выявляется основная закономерность, свойственная данному явлению, позволяющая однозначно предсказать результат по заданным условиям. Однако, при моделировании социально-экономических и естественных процессов необходимо учитывать не только основные факторы, но и множество второстепенных, приводящих к случайным искажениям результата, то есть вносящих в него элемент неопределенности. Этот подход заложен в основе стохастического эксперимента, при котором элемент неопределенности изучается специальными методами. В практической деятельности часто приходится сталкиваться со случайными событиями, то есть с событиями, которые могут произойти или не произойти по причинам, неподдающимся непосредственному учету в данных условиях. Изучение количественных закономерностей, которым подчинены массовые случайные события, и есть предмет теории вероятностей. Таким образом, теория вероятностей изучает свойства и закономерности массовых случайных явлений.

Алгебра случайных событий. Аксиоматический подход

К построению вероятностного пространства стохастического

эксперимента

Пусть происходит некоторое испытание (эксперимент, исследование) со случайным результатом.

Под испытанием понимается определенная совокупность условий и действий, которая может быть воспроизведена сколь угодно большое число раз. Реализация этих условий является событием. События разделяются на достоверные, невозможные и случайные.

Событие называется случайным, если оно может произойти или не произойти в результате испытания.

Событие называется достоверным , если оно обязательно произойдет в результате испытания, и невозможным (Ø), если оно не может произойти в результате данного испытания.

Случайные события обозначаются большими буквами латинского алфавита , , и другими.

События называются совместными, если они могут появиться вместе в одном и том же испытании.

События и называются несовместными, если они не могут произойти вместе в одном и том же испытании.

Два события называются независимыми, если появление одного из них не зависит от появления другого. Два события называются зависимыми, если появление одного из них зависит от появления другого.

События называются равновозможными, если по условиям испытания ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другое.

События называются единственно возможными, если кроме них не могут произойти никакие другие события.

Противоположным относительно событием называется событие , которое состоит в том, что не происходит. Два несовместных единственно возможных события являются противоположными.

Если события независимы, то независимы также и соответствующие им противоположные события.

События , ,..., образуют полную группу несовместных событий, если в некотором испытании обязательно происходит одно из них и никакое другое событие произойти не может. Полную группу событий составляет совокупность всех единственно возможных событий.

Элементарными событиями некоторого испытания называются всевозможные результаты этого испытания, которые нельзя разложить на простые.

Множество всех элементарных событий некоторого эксперимента (испытания) называется пространством элементарных событий. Элементы этого множества будем обозначать .

В реальном испытании элементарным событиям соответствуют взаимоисключающие события.

Например, при бросании игральной кости естественно выбрать , где означает результат испытания, который заключается в выпадении очков.

Кроме взаимоисключающих событий, есть возможность указать и другие случайные события. В приведенном выше примере можно говорить о других случайных событиях, которые заключаются, например, в том, что при бросании игральной кости получим парное количество очков. Это случится в том случае, когда происходит одно из событий , или .

Алгеброй событий будем называть непустую систему подмножеств, удовлетворяющую следующим аксиомам:

если подмножество принадлежит (является событием), то дополнение также принадлежит (является событием);

если подмножества и принадлежат (являются событиями), то и объединение также принадлежит (является событием).

Алгебру событий можно определить как систему пространства элементарных исходов, замкнутую относительно конечного числа теоретико-множественных операций.

Аналогично операциям над множествами можно определить понятие операций с элементарными событиями.

Объединением (суммой)двух событий и называется событие (или ), которое заключается в появлении или события , или события , или обоих вместе (рис. 1.1–а).

В реальном испытании событие, которое соответствует , заключается в том, что произошло хотя бы одно из событий или .

Пересечением (произведением)двух событий и называется событие (или ), которое заключается в одновременном появлении обоих событий (рис. 1.1–б).

Событие происходит тогда, когда происходит и , и .

а)

    б)

Рис. 1.1. Операции над событиями

Обозначим достоверное событие , невозможное – Ø.

Для противоположного относительно события , которое заключается в невыполнении события , справедливо следующее:

Ø; .

Имеет место утверждение:

сумма противоположных событий – это событие, которое противоположно произведению событий, то есть ;

верно и обратное:

событие, противоположное произведению событий, равно сумме противоположных событий, то есть .

Для несовместных событий и выполняется: Ø.

Дата добавления: 2015-07-14