Аппроксимация экспериментальных данных

Аппроксимацией называется подбор аналитической формулы у = f(х) для установленной из опыта функциональной зависимости у = φ(х).

Аппроксимируемая функция у может зависеть от одной или нескольких переменных.

2.1.1. Одна независимая переменная

В простейшем случае задача аппроксимации для функции одной переменной выглядит следующим образом.

Пусть имеются данные, полученные опытным путем, которые можно представить в виде таблицы значений.

На основе этих данных требуется подобрать такую функцию у = f(х), которая с точки зрения некоторого критерия оптимальности наилучшим образом описывала бы экспериментальную зависимость.

Обычно задача аппроксимации распадается на две части. Сначала устанавливают вид зависимости у = f(х) и соответственно вид эмпирической формулы, то есть решают, является ли она линейной, квадратичной логарифмической или какой либо другой. После этого определяются численные значения неизвестных параметров выбранной формулы, для которых приближение к заданной функции оказывается наилучшим. Для сглаживания экспериментальных зависимостей в MS Excel используются различные функции у = f(х): линейная, полиномиальная, логарифмическая, степенная, экспоненциальная.

Степень точности аппроксимации данных в MS Excel оценивается коэффициентом детерминации (R²). Чем ближе этот коэффициент к значению 1, тем точнее приближение.

Пример. построить и исследовать динамику роста производства продукции, используя данные:

Год	Производство	Год	Производство
	17,1		19,7
			19,8
	18,9		19,9

Решение:

1. На основе данных таблицы строим точечную диаграмму со значениями, соединенными сглаживающими линиями.

Наводим курсор на одну из точек полученного графика и из контекстного меню выбираем команду: Добавить линию тренда (рис. 1).

Рис. 1. Линия тренда

2. На вкладке Тип указываем Логарифмическая, на вкладке Параметры выставляем флажки для показа уравнения и достоверности аппроксимации на диаграмме (рис. 2).

Рис. 2. Параметры линии тренда

В итоге мы получим аппроксимацию экспериментальных данных в виде кривой, показанной на рис. 3.

Рис. 3. Аппроксимация экспериментальных данных

В данном случае результат не является удовлетворительным. Наилучшей в данном примере является полиномиальная функция, которая дает показатель достоверности R² = 0,9917, тогда как для логарифмической функции этот показатель равен 0,867 (рис. 4).

Рис. 4. Полиномиальная аппроксимация

Дата добавления: 2015-07-11