Рання еллінська математика й астрономія

Вцьому розділі я розглядатиму математику, але не саму по собі, а в її зв'язку з еллінською філософією - зв'язку дуже тісному, особливо у Платона. Величезна перевага греків над іншими народами виявляється в математиці та астрономії ясніше, ніж у будь-чому іншому. Те, що вони створили в мистецтві, в літературі, в філософії, можна оцінювати вище або нижче, залеж­но від смаку, але те, чого вони досягли в геометрії, не підлягає ніякому сумнівові. Вони взяли дещицю з Єгипту й ще дрібку з Вавілонії, але все то були в математиці переважно емпіричні правила, а в астрономії - записи спостережень за дуже довгий період часу. Мистецтво математичного доведення належить грекам майже повністю.

Є багато цікавих оповідок - можливо, вигаданих, - що пока­зують, які практичні проблеми стимулювали математичні дослідження. В найдавнішій і найпростішій ідеться про Фалеса: коли той був у Єгипті, фараон попросив його встановити висоту однієї піраміди. Фалес дочекався такої пори дня, коли його тінь дорівнюватиме довжиною його зростові, а тоді виміряв тінь від піраміди, що, звичайно, теж була рівна її висоті. Є розповідь про те, що закони перспективи перший дослідив геометр Агафарх, аби малювати декорації для Есхілових драм. Досить рано була пра­вильно розв'язана проблема визначення відстані корабля від бере­га - дослідження її приписують теж Фалесові. Одну з великих проблем, що цікавили грецьких геометрів, - задачу подвоєння ку­ба - поставили нібито жерці якогось храму, бо їх повідомив ора­кул, що божество хоче мати статую вдвічі більшу за ту, котра стоїть у храмі. Спочатку вони просто вирішили подвоїти всі розміри статуї, але потім зрозуміли, що тоді об'єм вийде у вісім разів більший, ніж первісний, а це потребуватиме більших ви­датків, ніж вимагав бог. Тому вони послали до Платона депу­тацію, щоб дізнатися, чи не може хтось в Академії розв'язати цю задачу. За неї взялись геометри й працювали над нею цілі сторіччя, попутно діставши багато чудових результатів. Проблема, зрозуміло, полягає в добуванні кубічного кореня з 2.

Квадратний корінь із 2, перше відкрите людьми ірраціональне число, був відомий раннім піфагорійцям; знайдено дуже дотепні способи обчислювати його наближено. Найкращий з них такий: випишіть два стовпчики чисел, з яких числа першого позначте літерою а, а другого - літерою b; кожен стовпчик починається з цифри 1. На кожному етапі наступне а утворюється додаванням уже наявного b до останнього а; наступне b - додаванням по­двоєного попереднього а до попереднього b. Перші 6 пар, одер­жані таким способом, будуть (1,1), (2,3), (5,7), (12,17), (29,41),

(70,99). У кожній парі 2а² - b² дорівнює 1 або -1. Таким чином - буде приблизним квадратним коренем із 2, і з кожним етапом чимраз точнішим. Наприклад, читач може задовольнитися тим, що квадрат дробу 99/70досить точно дорівнює 2.

Прокл змалював Піфагора - досить туманну постать в усьому -як першого, хто запровадив геометрію до загальної освіти. Багато авторитетів, у тому числі й сер Томас Гіс*, гадають, що він, ма-буть-таки, відкрив теорему, яка носить його ім'я: в прямокутному трикутнику квадрат сторони, протилежної прямому кутові, дорівнює сумі квадратів решти двох сторін. У кожному разі, ця теорема була відома піфагорійцям дуже рано. Знали вони й те, що сума кутів трикутника дорівнює двом прямим кутам.

Інші ірраціональні числа, крім квадратного кореня з двох, вив­чав у кількох конкретних випадках Теодор, сучасник Сократа, а в більш загальній формі - Теетет, трохи старший сучасник Пла­тона. Демокріт написав про ці числа трактат, але про зміст того трактату відомо дуже мало. Платон був дуже глибоко зацікавлений цією темою, він згадує праці Теодора й Теетета в діалозі, названому ім'ям цього останнього. В «Законах» (819—820) він пише, що загальна необізнаність із цим предметом ганебна, і визнає, що й сам познайомився з ним досить пізно. Звичайно, відкриття ірраціональних чисел мало велику вагу для піфагорійської філософії.

Одним з найважливіших наслідків відкриття ірраціональних чисел було створення Евдоксом (бл. 409 - бл. 355 pp. до н.е.) геометричної теорії пропорцій. До цього існувала тільки арифме­тична теорія пропорцій. Згідно з цією теорією, відношення а до b рівне відношенню с до сі, якщо d, помножене на а, рівне с, по­множеному на b. Це визначення при відсутності арифметичної те­орії ірраціональних чисел придатне тільки для чисел раціональних. Одначе Евдокс дав нове визначення, вільне від цього обмеження й викладене у формі, близькій до методів сучас­ного математичного аналізу. Цю теорію розвинув далі Евклід, во­на дуже гарна з погляду логіки.

Евдокс іще розробив або вдосконалив «метод вичерпування», потім вельми успішно використовуваний Архімедом. У цьому ме­тоді є вже провіщення інтегрального числення. Візьмімо, напри­клад, визначення площі круга. Можна вписати в круг правильний шестикутник, або правильний дванадцятикутник, або правильний багатокутник із тисячею чи мільйоном сторін. Площа такого бага­токутника, хоч би скільки сторін він мав, пропорційна квадратові діаметра круга. Що більше сторін має багатокутник, то ближча його площа до площі круга. Можна довести, що площа вашого багатокутника, коли він матиме достатнє число сторін,

* Greek Mathematics, Vol. I, p. 145.

різнитиметься від площі описаного кола менше, ніж на будь-яку наперед задану величину, хоч би яку малу. Для цієї мети вико­ристовується «аксіома Архімеда». Вона твердить, (хоча й трохи спрощено), що коли більшу з якихось двох величин поділити на­двоє, потім ще надвоє і так далі, то нарешті одержимо величину, меншу від меншої з двох первісно взятих. Іншими словами, коли а більше ніж b, існує якесь ціле число п, таке, що b, помножене на 2 n, буде більше за а.

Спосіб вичерпування інколи веде до точного результату, як, наприклад, у задачі квадратури параболи, розв'язаній Архімедом; але часом, як, наприклад, у спробах виконати квадратуру круга, він може привести тільки до низки послідовних наближень. Про­блема квадратури круга - це проблема визначення відношення до­вжини до його діаметра, яке називають числом л. Архімед уживав у обчисленнях наближений дріб 22/7; вписавши і описавши правильний багатокутник з 96 сторонами, він довів, що л менше, ніж 3 1/7, і більше, ніж 3 10/?1. Цим методом можна досягти будь-якого ступеня наближення, і жоден інший метод не дасть для цієї проблеми чогось більшого. Використання вписаного й описа­ного багатокутників для визначення значень л йде ще від Антіфона, Сократового сучасника.

Евклід, чия книжка ще за моєї молодості була єдиним загаль­новизнаним підручником геометрії для шкіл, жив у Александрії близько 300 р. до н.е., невдовзі після смерті Александра й Арістотеля. Більша частина його «Початків» не була оригінальна, але порядок, у якому наведені теореми, і логічна структура нале­жать загалом йому. Що глибше вивчаєш геометрію, то дужче за­хоплюєшся цією книжкою. Дослідження паралельних ліній за до­помогою славнозвісного п'ятого постулату приваблює подвійно: і не­схибністю дедукції, і тим, що в ньому не приховано сумнівності первісного припущення. Теорія пропорцій, запозичена в Евдокса, уникає всіх труднощів, пов'язаних з ірраціональними числами, за допомогою методів, принципово аналогічних тим, які запровадив у математичному аналізі Вайєрштрас уже в дев'ятнадцятому сторіччі. Далі Евклід переходить до, сказати б, геометричної алгебри і роз­глядає в книзі X ірраціональні числа. Далі він переходить до стере­ометрії й закінчує побудовою правильних багатогранників, удоскона­леною Теететом і резюмованою в Платоновому «Тімеї».

«Початки» Евкліда - безперечно, одна з найгеніальніших кни­жок усіх часів і один з найвеличніших пам'ятників еллінському генієві. Звичайно, їй властива й суто еллінська вузькість: метод її чисто дедуктивний, і в його рамках нема змоги перевірити вихідні тези. Вважалося, що ці тези незаперечні, але в дев'ятна­дцятому сторіччі неевклідова геометрія показала, що вони мо­жуть бути почасти хибними і що тільки спостереження здатне з'ясувати, хибні вони чи ні.

Евклідові властива та зневага до практичної користі, яку виразив ще Платон. За легендою, котрийсь із його учнів, вислухавши одне доведення, спитав, яка вигода буде йому з вивчення геометрії, і тоді Евклід покликав раба й наказав: «Дай цьому юнакові три обо-ли¹, бо він неодмінно хоче мати вигоду з того, що вивчає». 1 все ж ця зневага до практики мала прагматичне виправдання. В еллінській античності нікому й не світало, що з учення про конічні перерізи може бути якась користь; та врешті, аж у сімнадцятому сторіччі, Галілей відкрив, що гарматні ядра та кулі летять по пара­болі, а Кеплер довів, що планети рухаються по еліпсах. Цілком не­сподівано праця, яку греки виконали з чистої любові до теоретизу­вання, стала ключовою в артилерії й астрономії.

Римляни мали надто практичний напрямок думок, аби оцінити Евкліда; перший римлянин, що згадав про нього, був Ціцерон, за часів якого, мабуть, іще не існувало латинського перекладу «По-чатків». Та, власне, про жоден такий переклад нема письмового свідчення аж до Боеція (бл. 480 р. н.е.). Араби зуміли оцінити Евкліда краще: список «Початків» візантійський імператор подарував халіфові близько 760 p., а переклад на арабську мову виконано за Гаруна ар-Рашіда близько 800 року. Перший латинський переклад, що дійшов до нас, зроблений з арабської 1120 р. н.е. Ательгардом із Бата. Відтоді вивчення геометрії на Заході помалу відроджувалось, але істотного поступу досягнуто тільки в пізньому Ренесансі.

Перейдімо тепер до астрономії, в якій досягнення греків були не менш визначні, ніж у геометрії. Підвалини заклали ще до них за багато сторіч спостережень вавілоняни і єгиптяни. Відзначали видимі переміщення планет, але що вечірня й уранішня зоря — одна й та сама планета, про це не знали. Відкрито циклічність затемнень - у Вавілонії напевне, а в Єгипті ймовірно, і передба­чення місячних затемнень стало цілком надійним - але не соняч­них, бо їх не завжди видно в даному місці. Вавілонянам ми за­вдячуємо поділ прямого кута на дев'яносто градусів, а градуса -на шістдесят мінут; вони почували прихильність до числа шістдесят і навіть заснували на ньому свою систему числення. Греки любили приписувати мудрість своїх першовідкривачів подо­рожам до Єгипту, але насправді перед греками досягнено не дуже багато. Щоправда, те, що Фалес передрік затемнення, є прикла­дом чужоземного впливу; нема підстав гадати, ніби Фалес додав щось своє до того, чого навчився з єгипетських та вавілонських джерел, і те, що його провіщення справдилося, було почасти щас­ливою випадковістю.

Почнімо з декотрих ранніх відкриттів та слушних гіпотез. Анаксімандр вважав, що Земля вільно висить у просторі, не підтримувана нічим. Арістотель*, який часто відкидав найкращі

¹ Обол - дрібна монета у античній Греції. (Прим, перекл.). * «Про небо», 295 b.

тогочасні гіпотези, заперечував Анаксімандрову теорію, ніби Зем­ля, перебуваючи в центрі всього, лишається нерухомою, бо не існує причини, що змусила б її рухатись у якийсь один бік, а не в інший. Якби це було слушне, заявляв він, то людина, поміщена в центр кола, на якому в різних точках покладено їжу, померла б із голоду за браком причини обрати якусь певну порцію їжі, а не іншу. Цей аргумент знов виринає в схола­стичній філософії, але в зв'язку не з астрономією, а зі свободою волі. Він з'являється в подобі «Буріданового віслюка», що не зміг вибрати котрусь із двох в'язок сіна, покладених на рівних відстанях ліворуч і праворуч, а тому здох з голоду.

Піфагор, цілком імовірно, перший додумався до того, що Зем­ля куляста, але його підстави були (треба гадати) скорше есте­тичні, ніж наукові. А втім, скоро знайдено й наукові докази. Анаксагор відкрив, що Місяць світить відбитим світлом, і побуду­вав правильну теорію затемнень. Сам він ще вважав Землю пле­скатою, але форма земної тіні під час місячних затемнень дала піфагорійцям вирішальні аргументи на користь кулястої форми. Вони пішли навіть далі, аж до твердження, що Земля - це одна з планет. Вони знали - нібито від самого Піфагора, - що вранішня зірка тотожна з вечірньою, й гадали, що всі планети, в тому числі й Земля, обертаються по колах, тільки не довкруг Сонця, а довкруг «серединного вогню». Вони відкрили, що Місяць весь час повернений до Землі тим самим боком, і гадали, що й Земля завжди повернена до «серединного вогню» тим самим бо­ком. Середземномор'я лежить на боці, протилежному до «середин­ного вогню», і тому ми того вогню ніколи не бачимо. «Середин­ний вогонь» називали «домом Зевса» або «Матір'ю богів». Сонце, на їхню думку, світить відбитим світлом «серединного вогню». Окрім Землі, існує ще одне небесне тіло, Протиземля, на такій самій відстані від «серединного вогню». Для такої гадки у них були дві підстави: одна наукова, а друга породжена їхнім число­вим містицизмом. Наукова підстава полягала в слушному спосте­реженні, що затемнення Місяця інколи трапляється тоді, коли Сонце і Місяць водночас перебувають вище обрію. Рефракція, що є причиною цього явища, була їм невідома, і вони вважали, що в таких випадках затемнення спричинює тінь не від Землі, а від якогось іншого небесного тіла. Друга підстава була та, що Сонце, Місяць, п'ять планет, Земля, Протиземля й «серединний вогонь» становлять десять небесних тіл, а десять було в піфагорійців містичним числом.

Цю піфагорійську теорію приписують Філолаєві, фіванцеві, що жив під кінець п'ятого сторіччя до н.е. Хоча вона й фантастич­на, а почасти зовсім ненаукова, проте дуже важлива, бо в ній уже міститься велика частина тих зусиль уяви, які були не­обхідні для витворення Коперникової гіпотези. Уявити собі Землю не як центр Всесвіту, а тільки як одну з планет і не у вічній непорушності, а в вільному рухові крізь простір - це виказувало

дуже високий ступінь визволення з пут антропоцентричного мис­лення. І коли образ Всесвіту, що природно виник у людській свідомості, зазнав цього струсу, привести логічними аргументами до точнішої теорії стало вже не так і важко.

Внеском у цей розвиток були різні спостереження. Енопід, що жив трохи пізніше за Анаксагора, відкрив нахил екліптики. Ско­ро стало ясно, що Сонце мусить бути значно більше за Землю, а цей факт зміцнював позицію тих, хто заперечував думку, ніби Земля - центр Всесвіту. Уявлення про «серединний вогонь» і Протиземлю піфагорійці відкинули невдовзі після Платонових часів. Гераклід із Понту (що жив десь від 388 до 315 року до н.е., тобто був сучасником Арістотеля) відкрив, що Венера й Меркурій обертаються навколо Сонця, й дійшов до думки, що Земля обертається круг власної осі за двадцять чотири години. Це останнє було дуже важливим кроком уперед, якого не ступив ніхто з попередників. Гераклід належав до Платонової школи і був, певне, визначною людиною, але не зажив тої шани, на яку заслуговував: його змальовують як гладкого чепуруна-модника.

Арістарх Самоський, що жив десь від 310 до 230 р. до н.е. й був таким чином років на двадцять п'ять старший за Архімеда, -найцікавіший з усіх античних астрономів, бо він передрік цілу Коперникову гіпотезу, що всі планети, в тому числі й Земля, ру­хаються по колах круг Сонця і що Земля робить один оберт круг своєї осі за двадцять чотири години. Трохи розчаровує те, що в єдиній Арістарховій праці, яка дійшла до нас, - «Про розміри та віддаленість Сонця й Місяця», - він тримається гео­центричних поглядів. Правда, для проблем, які він розглядає в цій книжці, нема різниці, котрої теорії держатися, і тому він просто міг вирішити, що недоцільно утруднювати свої розрахунки зайвою суперечкою з загальним переконанням астрономів; а мо­же, він дійшов до коперниківської гіпотези тільки після написан­ня цієї книжки. Сер Томас Гіс у своїй праці про Арістарха*, де наведено весь текст книжки з перекладом, схиляється до другої гадки. Свідоцтва про те, що Арістарх передрік Коперникові по­гляди, в кожному разі цілком переконливі.

Найперше і найкраще свідчення дає Архімед, що був, як ми вже бачили, Арістарховим молодшим сучасником. У листі до сіракузького царя Гелона він пише, що Арістарх створив книжку, «яка містить певні гіпотези», і веде далі: «Його гіпотези поляга­ють у тому, що зорі й Сонце нерухомі, що Земля обертається круг Сонця по колу, а Сонце лежить у центрі її орбіти». 1 в Плутарха є уступ, де сказано, що Клеант «гадав, що обов'язок еллінів - засудити Арістарха Самоського за блюзнірство, бо він надав руху Серцеві Всесвіту (тобто Землі), внаслідок своєї спроби зберегти картину світу, припустивши, що небеса лишаються неру-

* Aristarchus of Samos, the Ancient Copernicus. By Sir Thomas Heath. Oxford, 1913. Дальший виклад спирається на цю працю.

хомі, а Земля рухається по нахиленому колу, обертаючись водно­час круг своєї власної осі». Клеант був Арістархів сучасник, що помер близько 232 р. до н.е. В іншому уступі Плутарх каже, що Арістарх висунув цю гадку тільки як гіпотезу, але його послідовник Селевк уже обстоював її як тверде переконання. (Се-левк працював близько 150 р. до н.е.). Аецій і Секст Емпірик також твердять, що Арістарх висунув геліоцентричну гіпотезу, але не кажуть, що він розвивав її тільки як гіпотезу. А хоч би навіть і так, то цілком імовірно, що він, як Галілей через дві тисячі років, чинив так тільки під впливом страху зачепити релігійні забобони, страху, який, судячи з наведеного висловлю­вання Клеанта, був аж ніяк не безпідставний.

Коперниківську гіпотезу, висунену чи то впевнено, чи то нерішуче Арістархом, остаточно прийняв Селевк, але з усіх грецьких астрономів тільки він єдиний. Загальне заперечення гіпотези походить головним чином від Гіппарха, що працював з 161 до 126 р. до н.е. Гіс змальовує його як «наивидатнішого аст­ронома античності»*. Він перший дав систематичний виклад три­гонометрії, він відкрив прецесію рівнодень; він визначив довжину селенічного місяця з похибкою, меншою за одну секунду; він уточнив Арістархову оцінку розмірів Сонця й Місяця та відстаней до них; він склав каталог восьмисот п'ятдесяти нерухомих зірок, навівши їхню широту й довготу. Спростовуючи геліоцентричну систему Арістарха, він прийняв і вдосконалив теорію епіциклів, розвинену Аполлонієм, що працював близько 220 р. до н.е.; саме дальше вдосконалення цієї теорії згодом стало відоме під ім'ям системи Птолемея, названої так за астрономом Птолемеєм, що працював у середині другого сторіччя н.е.

Коперник довідався дещо - хоча й небагато - про майже за­буту гіпотезу Арістарха й знайшов у античному авторитеті опору для своєї новації. Поза цим вплив Арістархової гіпотези на даль­ший розвиток астрономії був практично нульовий.

Стародавні астрономи, визначаючи розміри Землі, Місяця й Сонця та відстані до Місяця і Сонця, користались методами, тео­ретично правильними, але їм заважав брак більш-менш точних вимірювальних інструментів. Як зважити на цей факт, багато їхніх результатів навдивовижу точні. Ератосфен визначив діаметр Землі числом 7850 миль, що всього на півсотні миль розми­нається із істинним значенням. Птолемей обчислив найменшу відстань від Землі до Місяця - 297₂ земних діаметрів; істинне значення - 30,2. Але ніхто з них не знайшов істинної відстані від Землі до Сонця - всі применшували цю відстань. їхні оцінки в земних діаметрах:

Арістарх - 180 Гіппарх - 1245 Посідоній - 6545.

* Greek Mathematics, Vol. II, p. 253.

Правильне число — 11726. Ми побачимо, що ці оцінки посту­пово наближались до істини (тільки Птолемеєва знов відійшла далі), і Посідонієва* вже становить близько половини правильної. Загалом їхня картина сонячної системи була не така й далека від дійсності.

Еллінська астрономія була геометрична, а не динамічна. В ан­тичності уявляли собі рухи небесних тіл простими круговими або складеними з кругових рухів. Тоді ще не було концепції сили. Були сфери, що рухались як одне ціле, а до них були прикріплені різні небесні тіла. Ньютон зі своєю гравітацією за­провадив новий погляд, менш геометричний. Цікаво зауважити, що в Ейнштейновій загальній теорії відносності знаходимо повер­нення до геометричного погляду, бо концепцію сили в Ньютоно-вому розумінні з неї усунено.

Проблема для астронома ось яка: маючи видимі рухи небесних тіл на небесній сфері, ввести через гіпотезу третю координату, глибину, в такий спосіб, щоб описування явищ стало по змозі простішим. Перевага Коперникової гіпотези не в істинності, а в простоті; через відносність руху питання про істинність сюди не стосується. Греки в своїх пошуках гіпотези, яка б «зберегла кар­тину світу», по суті, хоча й не зі свідомим наміром, брались до проблеми науково правильним способом. Порівняння їх із їхніми попередниками, та й із наступниками аж до Коперника мусить переконати кожного дослідника в їхній направду гідній подиву геніальності.

Два велетні науки, Архімед і Аполлоній, із третього сторіччя до н.е., завершують список першорядних давньогрецьких матема­тиків. Архімед був другом, а може, й родичем сіракузького царя; його вбито, коли місто захопили римляни в 212 р. до н.е. Апол­лоній із самої юності жив у Александрії. Архімед був не тільки математик, а й фізик та дослідник гідростатики. Аполлоній відомий переважно своєю працею про конічні перерізи. Я не ска­жу про них більше нічого, бо вони з'явились надто пізно, аби справити вплив на філософію.

На цих двох людях скінчилась велика епоха, хоча в Алек­сандрії ще виконувано гідну шани роботу. Під владою римлян греки втратили впевненість у собі, для якої необхідна політична свобода, а втративши ту впевненість, перейнялись такою повагою до своїх попередників, що вона скувала їхнє мислення. Римський воїн, що вбив Архімеда, був символом смерті оригінального мис­лення, яку Рим приніс у еллінський світ.

* Посідоній був Ціцеронів навчитель. Він працював у другій половині другого сторіччя до н.е.

Дата добавления: 2015-07-08