Лекция №7 Математика

Тема: Дифференциальные уравнения первого порядка

План:

1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений (определение дифференциального уравнения, его порядок, решения).

2. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.

3. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

4. Заключение.

Цель лекции: указать, что понятия темы “Дифференциальные уравнения” используются для решения конкретных задач многих научных направлений геометрии, физики, естествознания, химии, экономики и т.д., изучить основные понятия темы и методы решения 2-х видов дифференциальных уравнений 1-го порядка.

Литература:

1. Математика для экономистов, учебное пособие кафедры. Ч. 1.1., гл. 4, п.п. 4.1., 4.2.

2. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики, М., 1986 г., гл. XXII, §§ 1, 2, 3, 5.

3. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. М., 1997 г. гл. 12, п.п. 12.1, 12.2, 12.4, 12.6.

1. Основные понятия “Дифференциальные уравнения”

Теория дифференциальных уравнений возникла в конце XVII века под влиянием потребностей механики и других естественнонаучных дисциплин одновременно с дифференциальным и интегральным исчислением.

Среди множества дифференциальных уравнений выделяют типы уравнений, общее решение которых выражается через элементарные функции. К таким типам относятся:

1) дифференциальные уравнения 1–го порядка с разделяющимися переменными;

2) линейные дифференциальные уравнения 1–го порядка;

3) линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения 2–го порядка.

Большинство дифференциальных уравнений, полученных при решении практических задач (экономики, биологии, физики, химии и др.) решаются приближенными методами: метод последовательных приближений, методы Адамса, Ритца, Галеркина и др. Эти методы представляют собой удобные алгоритмы вычислений с эффективными оценками точности, а современная вычислительная техника дает возможность довести решение такой задачи до числового результата. Большинство численных методов приближенного решения дифференциальных уравнений реализовано в виде библиотечных программ на ЭВМ.

Определение 1. Уравнение называется дифференциальным, если оно

содержит независимую переменную х, неизвестную функцию y=f(x) и её производные или дифференциалы.

Например: 1. у ¢ + 2 ху = 0;

2. у ¢¢+ 5 ху ¢ + 6 у = е^х

3. x d y + y d x = 0;

4. (дифференциальное уравнение радиоактивного распада);

5. 5 ху = 7 у + 8 х ².

В примерах 1–4–дифференциальные уравнения, в примере 5–не дифференциальное уравнение.

Определение 2. Порядком дифференциального уравнения называется порядок высшей (старшей) производной, входящей в уравнение.

Уравнения в примерах 1 и 3–дифференциальные уравнения 1–го порядка, в примере 2–второго порядка.

В общем виде дифференциальное уравнение записывается:

n –го порядка Ф(х, у, у ¢, y ¢¢,..., у ⁽ⁿ⁾)=0 или

у ⁽ⁿ⁾ = j(x, y, y ¢, y ¢¢,..., y ^{(n –1)});

2–го порядка Ф(х, у, у ¢, y ¢¢)=0 или у ¢¢=j(x, y, y ¢);

1–го порядка Ф(х, у, у ¢)=0 или у ¢=j(х, у).

Определение 3. Решением дифференциального уравнения называется

функция у=f(х),если при подстановке ее и ее производных, дифференциальное уравнение обращается в тождество.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием уравнения. График функции у = f (x), являющейся решением дифференциального уравнения, называют интегральнойкривой.

Решения дифференциального уравнения подразделяются на:

1. Общее решение. 2. Частные решения.

Общее решение дифференциального уравнения содержит столько произвольных постоянных, каков порядок дифференциального уравнения.

Общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

для 2–го порядка y = f (x, c ₁, с ₂) или F(x, y, c ₁, с ₂)=0;

для 1–го порядка y = f (x, c) или F(x, y, с)=0.

Частное решение дифференциального уравнения получается из общего решения при конкретных значениях произвольных постоянных, которые находятся с помощью начальных условий.

Начальные условия для дифференциальных уравнений имеют вид:

для 2–го порядка – при x = x ₀ y = y ₀, y ^/ = y ₀^/;

для 1–го порядка – при x = x ₀ y = y ₀.

Если неизвестная функция, входящая в дифференциальное уравнение, зависит от одной независимой переменной, то уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Если же неизвестная функция зависит от нескольких независимых переменных, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

Будем изучать обыкновенные дифференциальные уравнения 1–го и 2–го порядков.

Дата добавления: 2015-07-07