Читайте также:
|
|
Определение.Дифференциальное уравнение 1–го порядка
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 (4.2.1)
называется уравнением с разделяющимися переменными, если функции P(x,y) и Q(x,y) можно представить в виде произведения функций, каждая из которых зависит только от одной переменной, то есть:
P(x,y) = P1(x) . P2(y) и Q(x,y) = Q1(x) . Q2(y).
Тогда уравнение (4.2.1) примет вид:
P1(x) . P2(y)dx + Q1(x) . Q2(y)dy = 0 или
P1(x) . P2(y)dx = – Q1(x) . Q2(y)dy,
.разделим обе части равенства на Р2(у) × Q1(x) ¹ 0, получим
(4.2.2)
Уравнение вида (4.2.2) называется уравнением с разделенными(отдельными) переменными. Переход от уравнения (4.2.1) к уравнению (4.2.2) называется разделением (отделением) переменных. Уравнение с разделенными переменными можно почленно интегрировать:
(4.2.3)
Равенство (4.2.3) есть общее решение уравнения (4.2.1).
Правило: Для того, чтобы найти общее решение дифференциального
уравнения 1–го порядка с разделяющимися переменными необходимо:
1) разделить (отделить) переменные;
2) почленно проинтегрировать полученное уравнение с разделенными переменными.
Пример1. Найти общее решение уравнения
(xy2 + y2)dx + (x2 – x2y)dy = 0.
Решение:
Данное уравнение является дифференциальным уравнением 1–го порядка с разделяющимися переменными, так как его можно записать в виде
y2(x+1)dx + x2(1–y)dy = 0 или
y2(x+1)dx = – x2(1–y)dy,
разделив обе части равенства на x2y2 ¹ 0, получим
Это уравнение с отделенными переменными и его можно почленно интегрировать
– общее решение данного уравнения.
Пример 2. Найти частное решение уравнения xdy – ydx = 0 по начальным условиям при х0 = 2 у0 = –4.
Решение
Данное уравнение является дифференциальным уравнением 1–го порядка с разделяющимися переменными. Преобразуем уравнение отделив переменные: xdy = ydx или после деления уравнения на x × y ¹ 0
Полученное уравнение с отделенными переменными почленно проинтегрируем:
lny = lnx + lnC; lny = lnCx; y = Cx – общее решение данного уравнения.
Найдем частное решение при х0 = 2 и у0 = –4, подставив эти значения в общее решение, получим –4 = С×2,
Тогда частное решение имеет вид у = –2х.
|
![]() |
Дата добавления: 2015-07-07; просмотров: 242 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Лекция №7 Математика | | | Линейные дифференциальные уравнения |