Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Определение. Дифференциальное уравнение 1 –го порядка

P(x, y) dx + Q (x, y) dy = 0 (4.2.1)

называется уравнением с разделяющимися переменными, если функции P(x,y) и Q(x,y) можно представить в виде произведения функций, каждая из которых зависит только от одной переменной, то есть:

P (x, y) = P ₁(x) ^. P ₂(y) и Q (x, y) = Q ₁(x) ^. Q ₂(y).

Тогда уравнение (4.2.1) примет вид:

P ₁(x) ^. P ₂(y) dx + Q ₁(x) ^. Q ₂(y) dy = 0 или

P ₁(x) ^. P ₂(y) dx = – Q ₁(x) ^. Q ₂(y) dy,

.разделим обе части равенства на Р₂(у) × Q ₁(x) ¹ 0, получим

(4.2.2)

Уравнение вида (4.2.2) называется уравнением с разделенными(отдельными) переменными. Переход от уравнения (4.2.1) к уравнению (4.2.2) называется разделением (отделением) переменных. Уравнение с разделенными переменными можно почленно интегрировать:

(4.2.3)

Равенство (4.2.3) есть общее решение уравнения (4.2.1).

Правило: Для того, чтобы найти общее решение дифференциального

уравнения 1 –го порядка с разделяющимися переменными необходимо:

1) разделить (отделить) переменные;

2) почленно проинтегрировать полученное уравнение с разделенными переменными.

Пример1. Найти общее решение уравнения

(xy ² + y ²) dx + (x ² – x ² y) dy = 0.

Решение:

Данное уравнение является дифференциальным уравнением 1–го порядка с разделяющимися переменными, так как его можно записать в виде

y ²(x +1) dx + x ²(1– y) dy = 0 или

y ²(x +1) dx = – x ²(1– y) dy,

разделив обе части равенства на x ² y ² ¹ 0, получим

Это уравнение с отделенными переменными и его можно почленно интегрировать

– общее решение данного уравнения.

Пример 2. Найти частное решение уравнения xdy – ydx = 0 по начальным условиям при х ₀ = 2 у ₀ = –4.

Решение

Данное уравнение является дифференциальным уравнением 1–го порядка с разделяющимися переменными. Преобразуем уравнение отделив переменные: xdy = ydx или после деления уравнения на x × y ¹ 0

Полученное уравнение с отделенными переменными почленно проинтегрируем:

ln y = ln x + ln C; ln y = ln Cx; y = Cx – общее решение данного уравнения.

Найдем частное решение при х ₀ = 2 и у ₀ = –4, подставив эти значения в общее решение, получим –4 = С ×2,

Тогда частное решение имеет вид у = –2 х.

у=С₃х

Общее решение у = Сх – есть семейство интегральных кривых. В этом случае это пучок прямых с центром в начале координат. Частное решение у = –2 х одна из прямых этого пучка, проходящая через точку М ₀(2; –4).

Дата добавления: 2015-07-07