Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Читайте также:
  1. Арифметические операции с целыми числами и переменными целого типа в языке Паскаль
  2. Выявление вида критериального уравнения
  3. Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными
  4. Дифференциальные зависимости при изгибе
  5. Дифференциальные параметры
  6. Дифференциальные параметры полевых транзисторов.
  7. Дифференциальные параметры транзистора с p–n–затвором

Определение.Дифференциальное уравнение 1–го порядка

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 (4.2.1)

называется уравнением с разделяющимися переменными, если функции P(x,y) и Q(x,y) можно представить в виде произведения функций, каждая из которых зависит только от одной переменной, то есть:

 

P(x,y) = P1(x) . P2(y) и Q(x,y) = Q1(x) . Q2(y).

Тогда уравнение (4.2.1) примет вид:

P1(x) . P2(y)dx + Q1(x) . Q2(y)dy = 0 или

P1(x) . P2(y)dx = – Q1(x) . Q2(y)dy,

.разделим обе части равенства на Р2(у) × Q1(x) ¹ 0, получим

 

(4.2.2)

 

Уравнение вида (4.2.2) называется уравнением с разделенными(отдельными) переменными. Переход от уравнения (4.2.1) к уравнению (4.2.2) называется разделением (отделением) переменных. Уравнение с разделенными переменными можно почленно интегрировать:

 

(4.2.3)

 

Равенство (4.2.3) есть общее решение уравнения (4.2.1).

 

Правило: Для того, чтобы найти общее решение дифференциального

уравнения 1–го порядка с разделяющимися переменными необходимо:

1) разделить (отделить) переменные;

2) почленно проинтегрировать полученное уравнение с разделенными переменными.

Пример1. Найти общее решение уравнения

(xy2 + y2)dx + (x2x2y)dy = 0.

 

 

Решение:

Данное уравнение является дифференциальным уравнением 1–го порядка с разделяющимися переменными, так как его можно записать в виде

y2(x+1)dx + x2(1–y)dy = 0 или

y2(x+1)dx = – x2(1–y)dy,

разделив обе части равенства на x2y2 ¹ 0, получим

Это уравнение с отделенными переменными и его можно почленно интегрировать

– общее решение данного уравнения.

Пример 2. Найти частное решение уравнения xdy – ydx = 0 по начальным условиям при х0 = 2 у0 = –4.

 

Решение

Данное уравнение является дифференциальным уравнением 1–го порядка с разделяющимися переменными. Преобразуем уравнение отделив переменные: xdy = ydx или после деления уравнения на x × y ¹ 0

Полученное уравнение с отделенными переменными почленно проинтегрируем:

lny = lnx + lnC; lny = lnCx; y = Cx – общее решение данного уравнения.

Найдем частное решение при х0 = 2 и у0 = –4, подставив эти значения в общее решение, получим –4 = С×2,

Тогда частное решение имеет вид у = –2х.

у=С3х
Общее решение у = Сх – есть семейство интегральных кривых. В этом случае это пучок прямых с центром в начале координат. Частное решение у = –2х одна из прямых этого пучка, проходящая через точку М0(2; –4).

 

 
 

 



Дата добавления: 2015-07-07; просмотров: 242 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Лекция №7 Математика| Линейные дифференциальные уравнения

mybiblioteka.su - 2015-2021 год. (0.007 сек.)