Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Определение.Дифференциальное уравнение 1–го порядка

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 (4.2.1)

называется уравнением с разделяющимися переменными, если функции P(x,y) и Q(x,y) можно представить в виде произведения функций, каждая из которых зависит только от одной переменной, то есть:

P(x,y) = P₁(x) ^. P₂(y) и Q(x,y) = Q₁(x) ^. Q₂(y).

Тогда уравнение (4.2.1) примет вид:

P₁(x) ^. P₂(y)dx + Q₁(x) ^. Q₂(y)dy = 0 или

P₁(x) ^. P₂(y)dx = – Q₁(x) ^. Q₂(y)dy,

.разделим обе части равенства на Р₂(у) × Q₁(x) ¹ 0, получим

(4.2.2)

Уравнение вида (4.2.2) называется уравнением с разделенными(отдельными) переменными. Переход от уравнения (4.2.1) к уравнению (4.2.2) называется разделением (отделением) переменных. Уравнение с разделенными переменными можно почленно интегрировать:

(4.2.3)

Равенство (4.2.3) есть общее решение уравнения (4.2.1).

Правило: Для того, чтобы найти общее решение дифференциального

уравнения 1–го порядка с разделяющимися переменными необходимо:

1) разделить (отделить) переменные;

2) почленно проинтегрировать полученное уравнение с разделенными переменными.

Пример1. Найти общее решение уравнения

(xy² + y²)dx + (x² – x²y)dy = 0.

Решение:

Данное уравнение является дифференциальным уравнением 1–го порядка с разделяющимися переменными, так как его можно записать в виде

y²(x+1)dx + x²(1–y)dy = 0 или

y²(x+1)dx = – x²(1–y)dy,

разделив обе части равенства на x²y² ¹ 0, получим

Это уравнение с отделенными переменными и его можно почленно интегрировать

– общее решение данного уравнения.

Пример 2. Найти частное решение уравнения xdy – ydx = 0 по начальным условиям при х₀ = 2 у₀ = –4.

Решение

Данное уравнение является дифференциальным уравнением 1–го порядка с разделяющимися переменными. Преобразуем уравнение отделив переменные: xdy = ydx или после деления уравнения на x × y ¹ 0

Полученное уравнение с отделенными переменными почленно проинтегрируем:

lny = lnx + lnC; lny = lnCx; y = Cx – общее решение данного уравнения.

Найдем частное решение при х₀ = 2 и у₀ = –4, подставив эти значения в общее решение, получим –4 = С×2,

Тогда частное решение имеет вид у = –2х.

у=С₃х

Общее решение у = Сх – есть семейство интегральных кривых. В этом случае это пучок прямых с центром в начале координат. Частное решение у = –2х одна из прямых этого пучка, проходящая через точку М₀(2; –4).

Дата добавления: 2015-07-07