Линейные дифференциальные уравнения

Определение. Линейным дифференциальным уравнением 1 –го порядка называется уравнение 1 –ой степени относительно неизвестной функции у и ее производной у^/ и не содержит произведения у× у ¢.

Такое уравнение имеет вид:

M (x) ^. у ^/ + N (x) ^. у = K (x) или,

считая M(x)¹0 и разделив на M(x) все члены у равнения, получим

у ^/ + Р (х) у = Q (х) (4.2.4)

где Р (х) = N (x)/ M (x) и Q (х) = K (x) / M (x).

Линейное дифференциальное уравнение 1–го порядка подстановкой

у = u ^. v (4.2.5), u = u (x) и v = v (x);

сводится к двум дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными. Покажем это:

продифференцируем функцию (4.2.5)

у ^/ = u ^/. v + v ^/. u (4.2.6)

Значения у и у ^/ из (4.2.5) и (4.2.6) подставим в уравнение (4.2.4):

u ^/. v + v ^/. u + Р(х) u ^. v = Q(x).

Сгруппируем 2–е и 3–е слагаемые левой части последнего равенства и вынесем общий множитель “ u ” за скобки:

u ^/. v + u (v ^/ + P (x)^. v ) = Q(x) (4.2.7)

Функцию “ v ” найдем так, чтобы выражение в скобке обратилось в ноль, тогда получим два уравнения:

1) v ^/ + P (x) v = 0; 2) u ^/. v = Q (x);

Очевидно, что оба полученные уравнения с разделяющимися переменными.

Пример 3. Найти общее решение уравнения

y ^/ + 2 xy = 2 x ² e ^{– x} . (4.2.11)

Решение.

Данное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением 1–го порядка. Чтобы найти решение этого уравнения, используем подстановку:

y = u ^. v (4.2.5), а y ^/ = u ^/. v + u ^. v ^/ (4.2.6).

Эти значения подставим в (4.2.11):

u ^/. v + u ^. v ^/ + 2 xuv = 2 x ²

или

u ^/. v + u (v ^/ + 2 xv) = 2 x ² .

Найдем функцию v так, чтобы выражение в скобке обратилось в ноль, уравнение распадется на два уравнения:

1) v ^/ + 2 xv = 0; 2) u ^/. v = 2 x ² ;

du = 2 x ² dx;

ln V = – x ²;

V = e ^{– x} . (4.2.12) (4.2.13)

Подставив (4.2.12) и (4.2.13) в (4.2.5), получим

– общее решение уравнения (4.2.11).

Заключение

Итак, развитие человеческого общества привело к необходимости решать конкретные задачи экономики, химии, биологии и т.п., в которых неизвестная является функция, описывающая тот или иной реальный процесс. Это привело к возникновению в математике теории дифференциальных уравнений. Повторим основные понятия изученные на лекции.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте определение дифференциального уравнения.

2. Чем дифференциальное уравнение отличается от алгебраического?

3. Что называется порядком дифференциального уравнения?

4. Какие решения дифференциальные уравнения изучали?

5. Какое решение дифференциального уравнения является общим решением?

6. Как из общего решения дифференциального уравнения получить частное?

7. Какие виды дифференциального уравнения 1-го порядка решаются в конечном виде?

Дата добавления: 2015-07-07